Math Is Fun Forum
  Discussion about math, puzzles, games and fun.   Useful symbols: ÷ × ½ √ ∞ ≠ ≤ ≥ ≈ ⇒ ± ∈ Δ θ ∴ ∑ ∫ • π ƒ -¹ ² ³ °

You are not logged in.

#1 2016-11-02 17:11:44

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

An algorithm to generate primes

( I )  Principle 

Certain  years  ago  I  had  also  developed  an  algorithm  to  generate 
primes  from  existing  ones . The  principle  is  not  complicated . 

Let  S  denotes  a  set  of  distinct  consecutive  primes  starting 
from  2 , 3  and  onwards  up  to  a  certain  prime  Pn . If  we 
divide  S  into  2  parts  A  and  B  in  any  way  , and  let  π A 
denotes  the  product  of  primes  contained  in  A  ,
while   π B  denotes  the  product  of  primes  contained  in 
B . Thus   π A  and  π B  are  relatively  prime . ( If  one  of 
the  2  subsets  of  S , say  A  is  a  void  set  , then  π A  will  be 
defined  to  be  1 . ) 

Let  n1  denotes   π A  + π B   and  n2  denotes  | π A  - π B | .
It  is  clear  that  both  n1  and  n2  are  not  divisable  by  any 
of  the  primes   ≦ Pn .  n1  or  n2   may  be  prime , composit  ( with  all 
prime  factors  >  Pn  ) , or  =  1 . ( Only  for  n2 .)
Let  P (n+1)  denotes  the  prime  no.  just  >  Pn ,  if  n1  or  n2  <  P (n+1) ^ 2 , 
then  n1 or  n2  must  be  prime  since  the  smallest  composit  no. with  prime 
factors  all  >  Pn  will  be [ P (n+1)] ^ 2 .  The  value  of  P (n+1) ^ 2   will   be 
referred  as  the  limitation .

Examples  :

( I )  Let  S = { 2 , 3 , 5 }  , thus  limitation = 7 ^ 2 = 49 .

(1)  Take  A = { 2 , 3 }  and  B = { 5 }  , thus   πA = 6  and  π B = 5 .
Then  n1 = 6 + 5 = 11 ( prime  since  11 < 49 )
        n2 = 6 - 5 = 1 

(2)  Take  A =  { 2 , 5 }  and  B = { 3 }  , thus  π A = 10  .
Then  n1 = 10 + 3 = 13  ( prime )
         n2 =  10 - 3 =  7  ( p ) 

(3) Take  A =  { 2 }  and  B =  { 3 , 5 }  , thus  π B = 15 .
Then  n1 =  2 + 15  = 17  ( p ) 
          n2 = 15 - 2  =  13  ( p ) 

The  prime  no.  so  generated  will  not  necessarily  be  distinct  , as  we  have 
13 =  10 + 3  = 15 - 2  .

Offline

#2 2016-11-02 19:30:02

bobbym
Administrator
From: Bumpkinland
Registered: 2009-04-12
Posts: 107,115

Re: An algorithm to generate primes

Hi mr.wong;

You are in Help Me. What do you need help with?


In mathematics, you don't understand things. You just get used to them.
If it ain't broke, fix it until it is.
Always satisfy the Prime Directive of getting the right answer above all else.

Offline

#3 2016-11-02 20:51:18

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

Hi  bobbym ,

I  need  help  to  improve  this  algorithm  latter !

Offline

#4 2016-11-03 04:30:04

bobbym
Administrator
From: Bumpkinland
Registered: 2009-04-12
Posts: 107,115

Re: An algorithm to generate primes

In your examples, one of A and B has only one element in it. Do you always want to split {n elements} into {1 element}, {n-1 elements}?


In mathematics, you don't understand things. You just get used to them.
If it ain't broke, fix it until it is.
Always satisfy the Prime Directive of getting the right answer above all else.

Offline

#5 2016-11-03 14:53:33

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

Hi  bobbym ,

No , it  is  not  the  case .

Offline

#6 2016-11-03 14:55:09

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

( II ) Primes  with  exponents  >  1


In  fact  the  primes  contained  in  S  are  not  necessarily  distinct  .
Each  prime  may  repeat  any  times  , but  when  divided  into  2  groups 
every  same  prime  should  be  put  into  the  same  group . Thus  the  products 
of  elements  of  the  2  groups  are  still  relatively  prime .
If  there  are  n  no.  of  a  certain  prime  Pr  in  a  group  , they  may  be 
denoted  concisely  as  ( Pr ) ^ n  .

Example 

Let  S = { 2 , 3 ,3 ,3 , 5 , 5 } , limitation  is  still  49 .

(1)  Take  A =  { 2 , 3 ,3 , 3}  and  B =  { 5 , 5} ,
  then  A  may  also  be  denoted  by  {  2 , 3 ^ 3 } , while  B  by  { 5 ^ 2 }
thus  πA = 2 * 27 =  54   and  π B = 25 .
Then  n1 = 54 + 25 = 79 . Since  79 > 49 , we  are  not  sure 
whether  it  is  a  prime  or  not .
  n2 =  54 - 25 = 29  ( p )   

(2)  Take  A = { 2 , 5^2 }  and  B = ( 3 ^3 }
thus  πA = 50  and  π B = 27
Then  n1 = 50 + 27 = 77  ( > 49 )
         n2 =  50 - 27 =  23  ( p )

When  the  exponents  of  various  primes  may  take  values  > 1 ,
we  can  generate  more  primes  with  the  same  set  of  distinct 
primes .

Offline

#7 2016-11-04 14:14:11

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

( III )  Extension  of  limitation  from   [ P(n+1)] ^2   to  P(n+1) *  P(n+2)     

When  the  no.  of  primes  contained  in  S  increases  , the 
values  of  π A  and  π B  also  increase . The  values  of  n1  and  n2 ,
their  sum  and  difference  , will  frequently  be  greater  then   [ P(n+1)] ^2  ,
the  limitation .  ( Though  the  limitation  will  also  increase . )

To  make  the  algorithm  more  usable , we  extend  the  limitation  from 
[ P(n+1)] ^2  to  P(n+1) *  P(n+2)  , where  P(n+2)  is  the  prime  no.
just  greater  than  P(n+1) .  Since  the  composite  no . just  greater  than 
[ P(n+1)] ^2  and  not  divisible  by  primes ≦ Pn  is   P(n+1) * P(n+2)  .
If  n1  or  n2  so generated ,  though  >   P(n+1)] ^2 ,
but  <   P(n+1) * P(n+2)  ,  then  it  is  still  a  prime .


Example

Let  S = { 2^2, 3^3 , 5^2 } , then  limitation L1 = 7^2 = 49 ,   
      extended  limitation  L2 = 7 * 11 = 77 . 

(1)  Take  A = { 2^2 , 5^2 }  and  B = ( 3^3 }
  thus  πA = 100  and  π B = 27 .
  Then  n2 = 100 - 27 = 73 . Since  73 > 49  but  <  77 , therefore 
73  is  a  prime .

(2) Take  A = { 2^2 , 3^3 }  and  B = { 5^2 } , thus
      πA = 4 * 27 =  108   and  π B = 25 .
Then  n2 = 108 - 25 = 83 > 77 .  We  are  not  sure  whether
83  is  a  prime  or  not .


By  extending  the  limitation  we  have  more  chance  to  generate 
more  primes .

Offline

#8 2016-11-05 15:26:40

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

( IV )  To  generate  twin  primes 

If  the  difference  of  2  primes  =  2  ,  then  they  are  called " twin  primes " .
We  may  use  the  algorithm  under  certain  arrangement  to  generate  twin 
primes .

( i )  For  a  set  S  containing   primes  , if  we  divide  it  into  A , being 
S  itself  and  B , being  a  void  set , then  π B  will  be  1 .  Thus
n1 = π A  + 1   and  n2 =  π A  - 1   , i.e.  n1 - n2 = 2 .
If  both  n1  and  n2  are  primes , then  they  are  twin  primes .

Examples 

( 1 )  Let  S = { 2 , 3 , 5 }  , thus  limitation = 7 ^ 2 = 49  and  L2 = 77
Then  π S = 30   and  π {  } = 1 ,
n1 = 30 + 1 = 31  and  n2 = 30 - 1 = 29 ,
Since  both  31  and  29  < 49 ,
Thus  they are  twin  primes .

( 2 )  Let  S = { 2^2 , 3 , 5 } ,
  Then  π S = 60   and  π {  } = 1 ,
n1 = 60 + 1 = 61  and  n2 = 60 - 1 = 59 ,
Though  both  61 and  59  > 49 , but  since < 77 ,
Therefore  they  are  also  twin  primes .


( ii ) For  2  sets  S1  and  S2   such  that   S1  contains  2  and 
other  primes  as   elements  while  S2  contains  2^2 = 4  and  the 
same  rest  primes  as  elements  .   

Example 

Let  S1 =  { 2 , 3 , 5 , 7 }   and  divided  into  A =  { 2 }  and
B = { 3 , 5 , 7 } 
while  S2  =  { 4 , 3 , 5 , 7 }  and  divided  into  A =  { 4 }  and 
B = { 3 , 5 , 7 }  .
Then  Limitation  = 11^2 = 121  for  both  cases .

For  S1 , πA = 2  and  πB = 105  , thus  n1 = 105 + 2 = 107 
  and  n2 = 105 - 2 = 103 .
While  for S2 , πA = 4  and  πB = 105  , thus  n1 = 105 + 4  =  109
and    n2 = 105 - 4 = 101 .

The  difference  of  both  n1  = 2 , and  the  difference  of  both  n2 
also = 2 .  Since  all  the  4  n's  < 121 , thus  they  are  all  primes .
So  2  pairs  of  twin  primes  have  been  generated .

Offline

#9 2016-11-06 22:29:04

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

( V )  The  ultimate  limitation   L3   

After  the  extension  of  limitation from   L1  to  L2 , the  chance  of  the  number  generated 
to  be  a  prime  becomes  greater . Now  we  try  to  extend  the  limitation  a  bit  further .
If  a  number  n  generated  >  L2  , i.e.  [ P(n+1) * P(n+2) ] ,  but <  [P ( n + 3 )] ^2  (  denoted  by  L3 ) , then  n  will  be  prime  if  n  is  not  divisible  by  both  P (n+1)  and  P (n+2) .

To  find  whether  n  is  divisible  by  P (n+1)  and  P (n+2)  or  not  , we  can  divide  n  by 
P (n+1)  and  P( n+2)  one  by  one , or  once  with  the  following  method .
  Let  k = n -  P(n+1) * P(n+2)  ⇒  n = P(n+1) * P(n+2) + k  , then  factorize  k .
If  k  does  not  contain  either  P(n+1)  or  P(n+2)  as  factor , then  n  also ,
thus  n  is  a  prime  . Otherwise  n  will  be  composite  .

Examples

Let  S  =  { 2 , 3 , 5 , 7 }  and  divided  into  S  and  {  } .
Then  L1 = 11 ^2 = 121 ;    L2 = 11 * 13 = 143    and  L3 = 17 ^2 =  289  ,
πS = 210  and  π {  } = 1  .
Then  n1 = 210 +1 = 211  ,  211 >  143  but  <  289   thus  we  test  whether  211  is  divisible 
by  11  or  13 .

Since  211 -  143 = 68   ⇒    211 = 143 + 68
                                                      =  11 * 13  +  4 * 17
Thus   68  then  211  is  not  factorable   by  11  or  13  (  also  not  by  17 ) ,
therefore  211  is  a  prime .

For  n2 = 210 - 1 =  209  , also  >  143  but  <  289 .
Since  209 - 143 = 66  ⇒    209 = 143 +  66
                                                    = 11 * 13  +  6 *  11 ,
therefore  209  contains  11  as   a  factor  ,  thus  is  a  composite  .


L3  or  P ( n + 3 ) ^2  ,  will  be  referred  as  the  ultimate  limitation .

Offline

#10 2016-11-08 15:11:30

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

( VI )  To  generate  primes  with  more  than  2  groups 

Instead  of  partition  S  , a  set  with  r  primes  ( r ≧ 3 ) into  2  groups  only  ,
we  may  form  r  groups ( denoted  by  G )  of  primes  from  S  ,  such  that   each 
group  contains  exactly  r -1  primes  taken  from  S  , i.e. , each  prime  will  not  exist 
in  one  and  only  one  group .

Let  π G  denotes  the  product  of  primes  ( each   with  exponents  ≧ 1 )
contained  in  each  G  . If  we  take  the  combined  sum  or  difference  of  every  π G  ,
the  value  n  obtained  will  not  be  divisible  by  any  prime  contained  in  S .
If  n  <  L , the  limitation  then  n  will  be  prime  or  =  1  .

Examples 

( I )  Let  S = { 2 , 3 , 5 }  , thus  L1 = 49  and  L2 = 77 .

( 1 )  Take  G1 =  { 2 , 3 } , G2 = { 2 , 5 }  and  G3 = { 3 , 5 } ,
  Thus  G1  lacks  the  prime  5 , G2  lacks  3  and  G3  lacks  2
  as  shown  in  the  following  table .

    S |  2  ,  3  ,  5  |
   G1|  2  ,  3  ,  /   | -----  π G1 =  6 
   G2|  2  ,  /   ,  5  | -----  π G2 = 10 
   G3|   /  ,  3  ,  5  | -----  π G3 = 15

Then  n1 =  6 + 10 + 15 = 31 ( p ) 
          n2 =  6 + 10 - 15 = 1
          n3 =  6 -  10  + 15 = 11 ( p ) 
  and  n4 =  -6  + 10  + 15  = 19 (p)

It  seems  more  primes  can  be  generated  in  this  way .

Offline

#11 2016-11-10 15:05:01

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

( VII )  Incomplete  groups  and  complete  groups 


In  section  ( VI )  we  have  generated  primes  with  r  groups  each  containing   r-1  primes
taken  from  the  set  S . These  groups  will  be  referred  as  " incomplete  groups " .
In  fact  other  groups  which  contain  all  the  r  primes   (  referred  as  " complete  groups ")  may  also  participate   to  generate  primes  with  those  incomplete  groups . The  result  after    combined  sum  or  difference  of  them  is  still  not  divisible  by  every  prime  contained  in  S  after  the  joining  of  complete  groups .

Example 

As  in  the  table  shown  in  section  ( VI )  , if  the  set  S  being  itself  considered  as  a 
complete  group  ,  with  π S = 2*3*5 = 30  ,  join  the  operations  of  addition  or 
subtraction  with  the  3  incomplete  groups  G1 , G2  and  G3 , 
then  we  may  get  n1 = 30 + 6 + 10 + 15 = 61 ( p )  since  61 <  77 ( L2 ) .
Also  n2 =  30 + 6 + 10 - 15 = 31  ( p )
         n3 =  30 + 6  + ( -10 ) + 15 = 41 ( p )
         n4 =  30 +( -6 ) + 10  + 15 =  49  ( = L1 )
         n5 =  - 30  + 6  +  10  +  15  =  1
         n6 =  30 + 6 - 10 - 15 = 11 (p)
         n7 =  30  - 6  + 10 - 15 =  19  ( p )
         n8 =  30  - 6  - 10  + 15 = 29  ( p )

Offline

#12 2016-11-12 15:35:20

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

( VIII )  Primes  stored  in  compartments 

In  section ( VII )  it  can  be  seen  that  there  is  no  restriction  for  the  no.  of 
complete  groups . For  incomplete  groups  it  seems  that  the  total  no.  should  be 
r   . However , if  originally  the  primes  of  S  are  stored  in  so-called  compartments 
inside  S  where  certain  compartments  contain  > 1  distinct  primes (  with  various  exponents ) , 
then  the  total  no.  of  incomplete  groups  can  be  reduced .

For  example , let  S = { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 }  -----  totally  7  distinct  primes . Thus  L1 = 19^2 = 361 ,L2 = 19 * 23 = 437  and  L3 = 29^2 = 841 .
If  the  primes  are  stored  in  say  3  compartments  like  :
{ [ 2,3,5] , [ 7,11] , [ 13,17 ] } ;
then  we  may  take   G1 =  {  [ 2^2 ,3,5,] ,  [ 7,11] ,       /       }  = { 60 , 77 ,  1 } ,
thus   π G1 =  4620
                                G2 =  { [ 2^2,3,5,] ,       /        ,  [ 13,17 ]} =  { 60 , 1 , 221} ,
thus  π G2 = 13260 
                                G3 =  {     /             ,   [7,11] ,      [ 13,17 ]}  = { 1 , 77 , 221 } ,
thus  π  G3 = 17017
We  may  get  n1 =  π G1  + π G1 - π  G3
                           =  4620 + 13260 - 17017
                           =  863
Since  √ 863 = 29.3  thus  for  863  to  be  composite , it  must  contain  prime  factor  ≦ 29 . 
As  863 - 841 ( L 3 ) = 22 = 2 * 11 ⇒  863 = 29 * 29 + 2 * 11 , thus  863  is  not  divisible  by  29 ;
Also  863 - 437 ( L2 ) = 426 = 2 * 213  = 2 * 3 * 71  ⇒ 863 = 19 * 23 + 2*3*71 , thus  863  is  not  divisible  by  19  nor  23 , since  863  is  already  not  divisible  by  any  prime ≦ 17 , therefore  863  is  a  prime .

Offline

#13 2016-11-15 16:15:43

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

( IX )  Miscellaneous  examples 

( i )  Set  of  primes  used  without  " 5 "

If  the  set  S  used  to  generate  primes  does  not  contained   5  as  its  element  ,  then  the  n's  generated  may  be  divisible  by  5 .  If  this  happens  it  can  be  easily  inspected  for  the  n's  so  generated  will  end  in  5 . We  just  exclude  all  factors  of  5  by  dividing  n  by  5  and  get  the  quotient  .

Example 
Let  S  =  {  2 , 3 , 7 , 11 }   thus  L1 = 13 ^2 = 169  ;  L2 = 13 * 17  =  221 
Take   A1 =  {  2 , 11 }  and  B1 =  { 3 , 7 } 
Therefore   π A1 =  22  ,  πB1 =  21 
n1 =  22 +  21 =  43  ( p ) ,
n2 =  22 -  21 = 1

Take  A2 = { 4 , 11 }  ,  thus  π A2 = 44 ,
n3 =  π A2 +  πB1  =  44 +  21  =  65  while  65 / 5 = 13 ( p )
n4 =  π A2  -  πB1 =  44 -  21  =  23  ( p )

Take  B2 = { 9 , 7 }  , thus   π B2 =  63 ,
n5 =  π A1 +   π B2 = 22 + 63 = 85  while  85 / 5  = 17 ( p )
n6 =  π A1 -  π B2 =  22 -  63  = - 41 ( p ) 

n7 = π A2 +  πB2  = 44 + 63 = 107 ( p )
n8 = π A2  -  πB2  = 44 -  63 = - 19 ( p )

Offline

#14 2016-11-17 17:01:59

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

(ii)  Set  of  primes  without  " 2 "  for  3  incomplete  groups 

If  the  set  S  used  to  generate  primes  does  not  contained   2  as  its  element   
with  3  ( or  any  odd  nos. > 3 )  incomplete  groups  are  involved . Then  the 
product  of  each  group  will  all  be  odd , thus  the  combined  sum  or  difference 
of  them  will  also  be  odd , i.e. , not  divisible  by  2 .

Example 
Let  S  =  { 3 , 5 , 7 , 11 }  ,  thus  L1 = 13^2 = 169  ,  L2 = 13*17 = 221  and  L3 = 19 ^2 = 361
Take  A =  { [ 3 , 5] , 7 , / } ,  B =  { [ 3 , 5] ,  /  , 11 }  and  C =  {  /  ,  7  ,  11 }
Thus  π A = 105  ,  π B =  165  ,  π C = 77 ,
n1 = 105 + 165 + 77 = 347 ( p )  since  347 - 221 = 126 = 2 * 9 * 7
n2 = 105 + 165 -  77 = 193 ( p )
n3 = 105 -  165 + 77 =  17  ( p )
n4 =  - 105 + 165 + 77 = 137 ( p ) 

If  complete  groups  are  joined  to  participate  in  addition  or  subtraction  with  the  incomplete  groups , more  n's  can  be  generated . We  may  add  in  an  even  no.  of  complete  groups ,  or  choose  1  complete  group  with  an  additional   element  of  2 . 
For  example , let  T =  { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 }  ,  thus  π T = 2310

Take  A2 = { 9 , 25 , 7 }  ,  thus π A2 = 1575   while  B  and  C  remain  unchanged .
n5 = 2310 - 1575 - 165 - 77 = 493  , while  493 - 221 = 272 = 4 * 68 = 4 * 4 * 17 , thus  493  contains  17  as  a  factor .
n6 = 2310 - 1575 - 165 + 77 = 647  ( √ 647 = 25.4 ) , thus  we  have  to  check  whether  647  is  divisible    by  13 , 17 , 19  or  23 .  As   647 - 13 * 17 = 426 = 6 * 71  , thus  647  is  not  divisible  by  13 nor 17 . 
  Also  19 * 23 =  437  while  647 - 437 = 210 ( does  not  contain  19  nor  23  as  factor )  , therefore    647  is  a  prime .

Offline

#15 2016-11-19 16:43:31

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

(iii)  Set  of  primes  without  " 2 "  and  " 5 "  for  3  incomplete  groups 

If  the  set  S  used  to  generate  primes  does  not  contain  2  and  5 
as  its  elements  while  3  incomplete  groups  are  involved . Then  the 
combined  sum  or  difference  of  them  is  not  divisible  by  2  but  may 
be  divisible  by  5  .

Example 
Let  S  =  { 3 , 7 , 11 , 13 }  ,  then  L1 = 17 ^2 = 289  ;  L2 = 17 * 19 =  323  ;
and  L3 = 23 ^2 =  529 . 
Take  A =  {[ 3 , 7 ] ,    11 ,       /   }  ,  thus  π A =  231
Take  B = {[ 3 , 7 ] ,     /    ,   13 }  ,  thus   π B = 273
Take  C = {     /    ,   11  ,    13 }  ,   thus  π C = 143

n1 = 231 + 273 + 143 =  647 (  √ 647 = 25.4 )  then  we  have  to  check  whether  647  is  divisible  by  17 , 19  or  23  . As  647 - 323 = 324 ,   thus  647 = 2 * 17 * 19 + 1 
so  647  is  not  divisible  by  17  nor  19 . Also  647 - 529 = 118 = 2 * 59 
so  647  is  not  divisible  by  23 , therefore  647  is  a  prime .

n2 = 231 + 273 - 143 = 361 = 323 + 38  = 323 + 2 * 19   ,  thus  361  is    divisible 
        by  19 .
n3  = 231 - 273 + 143 = 101  ( p )
n4  = -231 + 273 + 143 = 185  while  185 / 5 = 37 ( p )

Offline

#16 2016-11-23 16:02:12

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

( X )  Summary  :

If  a , b  and  c  are  relatively  prime  ,  then 

( 1 )  a ± b  is  not  divisible  by  a  or  b  .
       (  2  incomplete  groups  ) 

( 2 )   ab ± 1  is  not  divisible  by  a  or  b .
        ( 1  complete  group  with  1  void  group . )

( 3 )  ab  ± a  ± b  is  not  divisible  by  a  or  b  .
        (  1  complete  group  with  2  incomplete  groups . ) 

( 4 )  ab  ±  ac ± bc  is  not  divisible  by  a , b  or  c  .
        (  3  incomplete  groups . ) 

( 5 )  abc  ±  ab  ± ac ±  bc   is  not  divisible  by  a , b  or  c .
         (  1  complete  group  with  3  incomplete  groups . )

Defects  of  this  algorithm  : 

The  limitation  is  usually  not  large  enough  compared  with the  n's  so  generated  .  If  we  want  to  generate  bigger  primes , the  no.  of  basic  primes  needed  should  be  more  thus  the  limitation  will  become  greater  .  But  it  is  not  easy  to  distribute  the  basic  primes  into  ,  say  2  incomplete  groups  so  that  the  n's  generated  will  be  smaller  than  the  limitation .
In  the  following  we  shall  demonstrate  an  example  how  to  arrange  the  basic  primes  for  2  incomplete  groups  .

Let  S =  { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 }  be  split  into  2  groups  A  and  B .     Thus  L1 = 17 ^2 =  289 
and  L2 = 17 * 19 = 323 .

Take  A =  { 2 , 7 , 13 }  and  B = { 3 , 5 , 11 }  ,  thus   π A = 182  and   πB = 165 

(1)  n1= 182 - 165 = 17 (P)
(2)  Add  2  to  A   i.e.   A1 = { 2 , 2 , 7 , 13 }  thus    π A1 =  2 *182 = 364 
      and  get  n2 = π A1 - πB = 364 - 165 = 199 (P)
(3)  Add  3  to  B  i.e.  B1 =  { 9 , 5 , 11 }  thus  πB1 = 3 *165  = 495
     and  get  n3 = πB1 - π A  = 495 - 182 = 313 (P) 
(4)  Get  n4 = πB1 - π A1 = 495 - 364 = 131 (P)
(5)  Add  4  to  A  and  5  to  B , thus  π A2 = 4 * 182  = 728  while  πB2 = 5 * 165  = 825 
      and  get  n5 = 825 - 728 = 97 (P)
(6)  Get  n6 = 4 * 182 -  3 * 165 = 728 - 495 = 233 (P)
(7)  Add  7  to  A  and  9  to  B ,  thus  7 * π A = 7 * 182 = 1274   while  9 * 165 = 1485
      and  get  n7 = 1485 - 1274 = 211 (P)
(8) Add  8  to  A  and  9  to  B , thus  8 * 182 = 1456  , and  get  n8 = 1485 - 1456 = 29 (P)
(9) Add  13  to  A  and  15  to  B , thus  13 * 182 = 2366  while  15 * 165 = 2475 
     and  get  n9 = 2475 - 2366 = 109 (P)
(10) Add  14  to  A  and  15  to  B , thus  14 * 182 = 2548  , and  get  n10 = 2548 - 2475 = 73 (P)
(11) Add   14  to  A  and  17  to  B , ( notice  that  L1  will  become  19 ^2 = 361 and  L2  will  become 
        19 * 23 = 437   )  thus  17 * 165 = 2805 ,  and  get  n11 = 2805 - 2548 = 257 (P) 
(12) Add  14  to  A  and  19  to  B ,  thus  14 * 182 = 2548  while  19 * 165 = 3135 , and  get
         n12 = 3135 - 2548 = 587  .   By  actual  division  we  find  that  587  is  not  divisible  by  17 .
          Thus  L1  becomes  23 ^2 = 529  and  L2  becomes  23 * 29 = 667 .   Therefore  529  is  a      prime .
(13) Add  16  to  A  and  17  to  B     , thus  16 *182 = 2912   and  17 * 165 = 2805 , and  get 
        n13 =  2912 - 2805 = 107 (P) 
(14) Add  16  to  A  and  19  to  B , thus  16 * 182 = 2912  and  19 * 165 = 3135 , and  get 
        n14 = 3135 - 2912 = 223 (P) 
(15) Add   17  to  A  and  19  to  B , ( then  L1  becomes  23 ^2 = 529  and  L2  becomes  23 * 29 = 667 )
        thus  17 * 182 = 3094  while  19 * 165 = 3135  , and  get  n15 = 3135 - 3094 = 41 (P) 
(16)  Add  19  to  A  and  23  to  B ,   thus  19 * 182 = 3458  and  23 * 165 = 3795
         and  get  n16 = 3795 -3458 = 337 . Since  337  is  not  divisible  by  17 , therefore  337  is  a  prime .
(17)  Add  23  to  A  and  25  to  B  , thus  23 * 182 = 4186  while  25 * 165 = 4125 
         and  get  n17 = 4186 - 4125 = 61 (P)
(18)  Add  26  to  A  and  27  to  B ,  thus  26 * 182 = 4732  and  27 * 165 = 4455 ,
        and  get  n18 = 4732 - 4455 = 277 (P)
(19)  Add  28  to  A  and  29  to  B , thus  28 * 182 = 5096  while  29 * 165 = 4785 ,
        and  get   n19 = 5096  - 4785 = 311 (P)
(20) Add  28  to  A  and  31  to  B , thus  28 * 182 = 5096  while  31 * 165 = 5115 ,
        and  get  n 20 =  5115 - 5096 = 19  (P)
(21)  Add  29  to  A  and  31  to  B , thus  29 * 182 = 5278  while  31 * 165 = 5115 ,
        and  get  n21 = 5278 - 5115 = 163 (P)
(22)  Add  31  to  A  and  33  to  B , thus  31 * 182 = 5642  while  33 * 165 = 5445 ,
        and  get  n22 = 5642 - 5445 = 197 (P)

Summary  in  Table

    A={2 ,7 ,13} , π A = 182  ;        B={3 ,5 ,11}  ,πB = 165  ;     difference    ;    L1 = 289  ; L2 = 323
(1)       182 * 1 = 182                           165 * 1 = 165                     17 
(2)        182 * 1 = 182                           165 * 3 = 495                     313
(3)        182 * 2 = 364                           165 * 1 = 165                     199
(4)        182 * 2 = 364                           165 * 3 = 495                     131 
(5)        182 * 4 = 728                            165 * 5 = 825                     97 
(6)        182 * 4 = 728                            165 * 3 = 495                    233
(7)        182 * 7 = 1274                          165 * 9 = 1485                 211
(8)        182 * 8 = 1456                          165 * 9 = 1485                  29
(9)       182 * 13 = 2366                         165 * 15 = 2475               109
(10)     182 * 14 = 2548                         165 * 15 = 2475                73 
(11)     182 * 14 = 2548                         165 * 17 = 2805               257 
(12)     182 * 14 = 2548                         165 * 19 = 3135               587   
(13)     182 * 16 = 2912                         165 * 17 = 2805               107
(14)     182 * 16 = 2912                         165 * 19 = 3135               223
(15)     182 * 17 = 3094                         165 * 19 = 3135               41
(16)     182 * 19 = 3458                         165 * 23 = 3795               337
(17)     182 * 23 = 4186                         165 * 25 = 4125               61
(18)     182 * 26 = 4732                         165 * 27 = 4455               277
(19)     182 * 28 = 5096                         165 * 29 = 4785               311
(20)     182 * 28 = 5096                         165 * 31 = 5115                19
(21)     182 * 29 = 5278                         165 * 31 = 5115               163
(22)     182 * 31 = 564                           165 * 33 = 5445               197
(23)     182 * 32 = 582                           165 * 33 = 5445               379
(24)     182 * 34= 6188                          165 * 33 = 5445               743
(25)     182 * 52 = 9464                         165 * 55 = 9075               389 
(26)     182 * 56 = 10192                       165 * 57 = 9405               787     
(27)     182 * 101 = 18382                     165 * 109 = 17985            397
(28)     182 * 97 = 17654                       165 * 103 = 16995            659

Last edited by mr.wong (2016-11-23 16:10:16)

Offline

#17 2016-11-28 20:16:24

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

Numbers  with  value  < 1000  generated  mainly  from  set  of  primes  <  17 .

Let  S  =  { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 }   and  take  A =  { 2 , 7 , 13 }  and  B = { 3 , 5 , 11 }  ,  thus   π A = 182  and   πB = 165   while   L1 = 17 ^2 =  289 .   
Multiply  182  by  i , and  165  by  j  where  i and  j  are   positive  integers  . If  i  is  relatively  prime  with  165  and  j , while  j  is  relatively  prime  with  182  and  i ,  then  182 * i  is  relatively  prime  with  165 * j .   
Let   n  be  182 * i  ± 165 * j   for  various  values  of  i  and  j  , clearly  n  is  not  divisible  by  primes <  17 , nor  every  prime  factors  of  i  and  j  .
If  n  generated  ( as  sum  or  difference ) <  289 , then  n = 1  or  is  a  prime .
If  n > 289 , then  usually  we  have   to  check  further  the  divisibility  of  n  by 
consecutive  primes  from  17  up  to  the  prime  just  <  √n  ( may  be  by  actual  division )  , excluding  those  prime  factors  of  i  or  j  . If  every  such  prime   does  not  divide  n , then  n  is  a  prime .

In  the  following  we  shall  list  all  such  n's  with  value  < 1000 .

( A )  sum 
(1)  182 * 1   +   165 * 1 =  347  ( P )
(2)  182 * 1   +   165 * 3 =  677  ( P )
(3)  182 * 1   +   165 * 5 = 1007
(4)  182 * 2   +   165 * 1 = 529   ( =  23 * 23 )
(5)  182 * 2    +   165 * 3 = 859  ( P )
(6)  182 * 4    +   165 * 1 = 893  ( =  19 * 47 )


( B )  difference 
(7)  182 * 1 = 182        -                    165 * 1 = 165              =                   17 ( P ) 
(8)  182 * 1 = 182        -                    165 * 3 = 495              =                 -313 ( P )
(9)  182 * 1 = 182         -                   165 * 5 = 825              =               - 643 (P)
(10) 182 * 2 = 364          -                  165 * 1 = 165              =        199  (P)             
(11) 182 * 2 = 364         -                   165 * 3 = 495               =                -131  (P)
(12) 182 * 2 = 364         -                   165 * 5 = 825               =               -461  (P)
(13) 182 * 4 = 728         -                   165 * 1 = 165              =                 563 ( P)
(14) 182 * 4 = 728        -                    165 * 3 = 495              =                 233 ( P )
(15)  182 * 4 = 728       -                     165 * 5 = 825             =                  -97  ( P )
(16)  182 * 4 = 728      -                      165 * 9 = 1485           =               - 757 ( P )
(17) 182 * 7 = 1274     -                     165 * 3 = 495              =        779 ( = 19 * 41)
(18) 182 * 7 = 1274     -                      165 * 5 = 825            =                   449 ( P )
(19) 182 * 7 = 1274     -                     165 * 9 = 1485            =                - 211( P )
(20) 182 * 7 = 1274     -                     165 *11 = 1815          =                 -  541(P)
(21) 182 * 8 = 1456    -                      165 * 3 = 495             =          961( = 31 * 31)
(22) 182 * 8 = 1456    -                      165 * 5 = 825             =                  631 ( P )
(23) 182 * 8 = 1456    -                      165 * 9 = 1485           =                 - 29 ( P)
(24) 182 * 8 = 1456    -                      165 *11 = 1815          =                - 359 (P)
(25) 182 * 13 = 2366  -                     165 * 9 = 1485           =                  881 (P)
(26) 182 * 13 = 2366   -                     165 *11 = 1815         =           551( = 19 * 29)
(27)  182 * 13 = 2366       -               165 * 15 = 2475          =                 - 109 (P)
(28) 182 * 13 = 2366        -               165 * 17 = 2805          =                 -  439(P)
(29) 182 * 13 = 2366        -               165 * 19 = 3135          =               -   769(P)
(30) 182 * 14 = 2548        -              165 *11 = 1815            =                 733(P)
(31) 182 * 14 = 2548        -              165 * 15 = 2475          =                 -  73(P) 
(32) 182 * 14 = 2548       -               165 * 17 = 2805          =               -   257(P) 
(33) 182 * 14 = 2548       -               165 * 19 = 3135          =               -   587(P)
(34) 182 * 16 = 2912       -                  165 * 15 = 2475       =            437(=19 * 23)
(35) 182 * 16 = 2912      -                    165 *17 = 2805       =             107(P)
(36)  182 * 16 = 2912     -                     165 * 19 = 3135     =             - 223(P)
(37) 182 * 16 = 2912        -                   165 * 23 = 3795     =           -   883(P)
(38) 182 * 17 = 3094       -                   165 * 15 = 2475      =               619(P)
(39) 182 * 17 = 3094       -                  165 * 19 = 3135       =              -   41(P)
(40) 182 * 17 = 3094      -                     165 * 23 = 3795     =                    701(P)
(41) 182 * 19 = 3458      -                    165 * 15 = 2475      =                 983 (P)
(42) 182 * 19 = 3458      -                    165 *17 = 2805       =                   653(P)
(43) 182 * 19 = 3458      -                   165 * 23 = 3795        =                -   337(P)
(44) 182 * 19 = 3458      -                   165 * 25 = 4125       =      -  667 ( = 23 * 29)
(45) 182 * 23 = 4186     -                     165 * 25 = 4125       =                    61  (P)     
(46) 182 * 23 = 4186     -                     165 * 27 = 4455       =                 -   269(P)
(47) 182 * 23 = 4186     -                     165 *29 = 4785        =                -    599(P)
(48) 182 * 26 = 4732     -                     165 * 23 = 3795       =                      937(P)
(49) 182 * 26 = 4732     -                     165 * 25 = 4125       =                      607(P)
(50) 182 * 26 = 4732     -                     165 * 27 = 4455       =                      277(P)
(51) 182 * 26 = 4732    -                    165 * 29 = 4785        =                 -   53(P)   
(52) 182 * 26 = 4732    -                    165 * 31 = 5115        =                     - 383(P)
(53) 182 * 26 = 4732    -                   165 * 33 = 3795      =        713 ( =  23 * 31 )
(54) 182 * 28 = 5096    -                      165 * 25 = 4125      =                        971 (P)
(55) 182 * 28 = 5096    -                      165 * 27 = 4455      =                        641 (P)
(56) 182 * 28 = 5096    -                      165 * 29 = 4785      =                        311 (P)
(57)182 * 28 = 5096    -                       165 * 31 = 5115      =                     -    19 (P)
(58)182 * 28 = 5096    -                       165 * 33 = 5445     =                      -  349 (P)
(59) 182 * 29 = 5278   -                       165 * 27 = 4455     =                          823 (P)
(60) 182 * 29 = 5278   -                       165 * 31 = 5115    =                         163 (P)
(61)182 * 29 = 5278       -                   165 * 33 = 5445       =                    -  167 (P)
(62)182 * 29 = 5278      -                    165 * 37 = 6105       =                    -  827 (P)
(63) 182 * 31 = 5642     -                     165 * 29 = 4785      =                         857 (P)
(64) 182 * 31 = 5642     -                     165 * 33 = 5445      =                         197 (P)
(65) 182 * 31 = 5642     -                     165 * 37 = 6105      =                    -   463 (P)
(66) 182 * 32 = 5824     -                     165 * 31 = 5115      =                        709 (P)
(67) 182 * 32 = 5824     -                     165 * 33 = 5445     =                          379 (P)
(68) 182 * 32 = 5824     -                     165 * 37 = 6105      =                    -   281 (P)
(69) 182 * 32 = 5824     -                     165 * 41 = 6765      =                  -    941 (P)
(70)182 * 34= 6188      -                     165 * 33 = 5445       =                        743 (P)
(71)182 * 34= 6188      -                     165 * 37 = 6105       =                        83 (P)
(72)182 * 34= 6188      -                     165 * 41 = 6765       =                   -   577 (P)
(73)182 * 34= 6188     -                      165 * 43 = 7095       =                    -   907 (P)
(74) 182 * 37 = 6734     -                     165 *  41 = 6765     =                 -    31 (P) 
(75) 182 * 37 = 6734    -               165 * 43 = 7095            =        - 361 ( = 19 * 19 )
(76) 182 * 37 = 6734    -                   165 * 45 = 7425        =                   -   691 (P)
(77) 182 * 38 = 6916    -                      165 * 37 = 6105     =                         811 (P)
(78) 182 * 38 = 6916    -                      165 * 41 = 6765     =                         151 (P)
(79) 182 * 38 = 6916    -                      165 * 43 = 7095    =                     -   179 (P)
(80) 182 * 38 = 6916    -                      165 * 45 = 7425     =                    -    509 (P)
(81) 182 * 38 = 6916    -                      165 * 47 = 7755     =                    -    839 (P)
(82) 182 * 41 = 7462    -                      165 * 43 = 7095     =                        367 (P)
(83) 182 * 41 = 7462    -                      165 * 45 = 7425     =                            37 (P)
(84) 182 * 41 = 7462   -                       165 * 47 = 7755    =                       -  293 (P)
(85) 182 * 41 = 7462   -                       165 * 51 = 8415     =                     -  953 (P)
(86) 182 * 43 = 7826   -                       165 * 45 = 7425     =                  401 (P)     
(87) 182 * 43 = 7826    -                      165 * 47 = 7755      =                       - 71 (P)
(88) 182 * 43 = 7826    -                      165 * 51 = 8415     =       - 589 ( = 19 * 31 )
(89) 182 * 43 = 7826     -                     165 * 53 = 8745     =                    -    919 (P)
(90) 182 * 46 = 8372    -                      165 * 45 = 7425    =                          947 (P)
(91) 182 * 46 = 8372     -                     165 * 47 = 7755     =                         617 (P)
(92) 182 * 46 = 8372    -                   165 * 51 = 8415        =           -43 (P)
(93) 182 * 46 = 8372    -                   165 * 53 = 8745         =                   -  373 (P)
(94) 182 * 46 = 8372     -               165 * 55 = 9075            =      - 703 ( = 19 * 37 )
(95) 182 * 47 = 8554     -                  165 * 51 = 8415        =                       139 (P)
(96) 182 * 47 = 8554     -                  165 * 53 = 8745        =                      - 191 (P)
(97) 182 * 47 = 8554     -                  165 * 55 = 9075       =                    -    521 (P)
(98) 182 * 47 = 8554     -                 165 * 57 = 9405        =        - 851 ( = 23 * 37 )
(99) 182 * 49 = 8918    -                  165 * 51 = 8415        =                       503 (P)
(100)182 * 49 = 8918   -                  165 * 53 = 8745        =                       173 (P)
(101)182 * 49 = 8918   -                      165 * 55 = 9075    =                      -  157(P)
(102)182 * 49 = 8918   -                 165 * 57 = 9405         =                     - 487 (P)
(103)182 * 49 = 8918   -              165 * 59 = 9735            =        - 817 ( = 19 * 43 )


( To  be  continued )

It  should  be  better  to  list  the  real  values  of  their  difference 
instead  of  the  absolute  values  of  their  difference .

Last edited by mr.wong (2016-12-11 00:28:23)

Offline

#18 2016-12-03 22:20:54

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

(  Continued  from  #   17  )

(104) 182 * 52 = 9464                          165 * 53 = 8745                           719 (P)
(105) 182 * 52 = 9464                          165 * 55 = 9075                           389 (P)
(106) 182 * 52 = 9464                          165 * 57 = 9405                              59 (P)
(107) 182 * 52 = 9464                          165 * 59 = 9735                        -   271 (P)
(108) 182 * 52 = 9464                          165 * 61 = 10065                       -601(P)
(109) 182 * 56 = 10192                        165 * 57 = 9405                            787  (P)   
(110) 182 * 56 = 10192                        165 * 59 = 9735                            457 (P)
(111) 182 * 56 = 10192                        165 * 61 = 10065                          127 (P)
(112) 182 * 56 = 10192                        165 * 67 = 11055                       -    863 (P)
(113) 182 * 58 = 10556                    165 * 59 = 9735                              821 (P)
(114) 182 * 58 = 10556                    165 * 61 = 10065                           491 (P)
(115) 182 * 58 = 10556                    165 * 67 = 11055                        -   499 (P)
(116) 182 * 58 = 10556                    165 * 69 = 11385                      -   829 (P)
(117) 182 * 59 = 10738                        165 * 61 = 10065                         673 (P)
(118) 182 * 59 = 10738                        165 * 67 = 11055                   -      317  (P)
(119) 182 * 59 = 10738                        165 * 69 = 11385                   -   647 (P)
(120) 182 * 59 = 10738                         165 * 71 =  11715                 -       977 (P)
(121) 182 * 61 = 11102                        165 * 67 = 11055                         47  (P)
(122)  182 * 61 = 11102                        165 * 69 = 11385                -    283 (P) 
(123) 182 * 61 = 11102                        165 * 71 = 11715              -   613 (P)
(124) 182 * 61 = 11102                     165 * 73 =  12045             - 943 ( = 23 * 41 )
(125)  182 * 62 = 11284                     165 * 67 = 11055                         229 (P)
(126) 182 * 62 = 11284                 165 * 69 = 11385                  -  101 (P)
(127) 182 * 62 = 11284                 165 * 71 = 11715                 -   431(P)
(128) 182 * 62 = 11284                 165 * 73 = 12045                -    761(P)
(129) 182 * 64 = 11648                 165 * 67 = 11055                     593 (P)
(130) 182 * 64 = 11648                 165 * 69 = 11385                 263(P)
(131) 182 * 64 = 11648                 165 * 71 = 11715               -   67  (P)             
(132) 182 * 64 = 11648                 165 * 73 = 12045              -    397 (P)
(133) 182 * 64 = 11648                 165 * 75 =  12375             -    727 (P)
(134) 182 * 67 =  12194                165 * 69 = 11385                  809 (P)
(135) 182 * 67 =  12194                165 * 71 = 11715                  479 ( P)
(136) 182 * 67 =  12194                165 * 73 = 12045                  149 (P)
(137) 182 * 67 =  12194                165 * 75 =  12375             -   181 (P)
(138) 182 * 67 =  12194               165 * 79 =  13035             -    841 (= 29 * 29 )
(139) 182 * 68 =  12376                165 * 69 = 11385                  991 (P) 
(140) 182 * 68 =  12376                165 * 71 = 11715                  661 (P)
(141) 182 * 68 =  12376                165 * 73 = 12045                  331 (P)
(142) 182 * 68 =  12376                165 * 75 =  12375                 1
(143) 182 * 68 =  12376                165 * 79 =  13035             -    659 (P)
(144) 182 * 68 =  12376               165 * 81 =  13365            -   989  (=23*43)
(145) 182 * 71 =  12922                 165 * 73 = 12045                877 (P)
(146) 182 * 71 =  12922                 165 * 75 =  12375               547 (P)
(147)  182 * 71 =  12922                 165 * 79 =  13035          -      113 (P)
(148) 182 * 71 =  12922                 165 * 81 =  13365           -        443 (P)
(149 )  182 * 71 =  12922                 165 * 83 = 13695          -      773 (P)
(150)  182 * 73 = 13286                  165 * 75 =  12375               911 (P)
(151)  182 * 73 = 13286                  165 * 79 =  13035                251 (P) 
(152)   182 * 73 = 13286                  165 * 81 =  13365            -       79 (P)
(153)   182 * 73 = 13286                   165 * 83 = 13695            -    409 (P)
(154)  182 * 73 = 13286                   165* 85 = 14025             -    739 (P)
(155) 182 * 74 = 13468                    165 * 79 =  13035                433 (P)
(156) 182 * 74 = 13468                     165 * 81 = 13365                  103 (P)       
(157) 182 * 74 = 13468                    165 * 83 = 13695             -     227 (P) 
(158) 182 * 74 = 13468                    165 * 85 = 14025             -      557 (P)   
(159) 182 * 74 = 13468                    165 * 87 =  14355            -     887 (P)
(160) 182 * 76 = 13832                    165 * 79 =  13035                  797 (P)
(161) 182 * 76 = 13832                    165 * 81 =  13365                     467 (P)
(162) 182 * 76 = 13832                   165 * 83 = 13695                  137 (P)
(163) 182 * 76 = 13832                    165 * 85 = 14025             -      193 (P)
(164) 182 * 76 = 13832                    165 * 87 = 14355             -    523 (P)
(165) 182 * 76 = 13832                    165 * 89 = 14685             -     853 (P)
(166) 182 * 79 = 14378                    165 * 83 = 13695                  683 (P)
(167) 182 * 79 = 14378                    165 * 85 = 14025                   353 (P)
(168) 182 * 79 = 14378                    165 * 87 = 14355                  23 (P)
(169) 182 * 79 = 14378                    165 * 89 = 14685             -     307 (P)
(170) 182 * 79 = 14378                    165 * 93 = 15345             -      967 (P)
(171) 182 * 82 = 14924                    165 * 85 = 14025            899 (= 29 * 31)
(172) 182 * 82 = 14924                    165 * 87 = 14355                   569 (P)
(173) 182 * 82 = 14924                    165 * 89 = 14685                   239 (P)
(174) 182 * 82 = 14924                    165 * 93 = 15345              -     421(P) 
(175) 182 * 82 = 14924                    165 * 95 = 15675              -      751(P)


(176) 182 * 83 = 15106                    165 * 87 = 14355                    751  ( Re)
(177) 182 * 83 = 15106                    165 * 89 = 14685                    421
(178) 182 * 83 = 15106                    165 * 93 = 15345                -    239                 
(179) 182 * 83 = 15106                   165 * 95 = 15675                -    569                   
(180) 182 * 83 = 15106                   165 * 97 = 16005           - 899 (= 29 * 31 )
(181) 182 * 86 = 15652                            165 * 89 = 14685                    967
(182) 182 * 86 = 15652                             165 * 93 = 15345                    307
(183) 182 * 86 = 15652                            165 * 95 = 15675                 -    23
(184) 182 * 86 = 15652                           165 * 97 = 16005                 -   353
(185) 182 * 86 = 15652                            165 * 99 = 16335                -       683
(186) 182 * 89 = 16198                           165 * 93 =  15345                       853 
(187) 182 * 89 = 16198                           165 * 95 = 15675                       523
(188)  182 * 89 = 16198                            165 * 97 = 16005                            193
(189)  182 * 89 = 16198                            165 * 99 = 16335                    -        137
(190)  182 * 89 = 16198                            165 * 101 = 16665                  -        467
(191)  182 * 89 = 16198                            165 * 103 = 16995                 -         797
(192) 182 * 91 = 16562                            165 * 95 = 15675                       887
(193) 182 * 91 = 16562                            165 * 97 = 16005                            557
(194) 182 * 91 = 16562                            165 * 99 = 16335                           227
(195) 182 * 91 = 16562                           165 * 101 = 16665                    -      103
(196) 182 * 91 = 16562                           165 * 103 = 16995              -      433
(197) 182 * 92 = 16744                   165 * 97 = 16005                            739
(198) 182 * 92 = 16744                   165 * 99 = 16335                           409
(199) 182 * 92 = 16744                   165 * 101 = 16665                         79
(200) 182 * 92 = 16744                   165 * 103 = 16995                    -   251
(201)  182 * 92 = 16744                   165 * 107 = 17655                   -   911
(202)  182 * 94 =  17108                   165 * 99 = 16335                           773
(203)  182 * 94 =  17108                   165 * 101 = 16665                         443
(204)  182 * 94 =  17108                      165 * 103 = 16995                    113
(205)  182 * 94 =  17108                          165 * 107 = 17655             -    547       
(206)  182 * 94 =  17108                          165 * 109 = 17985              -    877
(207)  182 * 97 = 17654                  165 * 101 = 16665             989 ( = 23 * 43 )
(208)  182 * 97 = 17654                           165 * 103 = 16995                    659
(209)  182 * 97 = 17654                           165 * 107 = 17655               -  1
(210)  182 * 97 = 17654                           165 * 109 = 17985             -    331
(211)  182 * 97 = 17654                            165 * 111 = 18315            -    661
(212)  182 * 97 = 17654                            165 * 113 = 18645            -    991
(213)  182 * 98 = 17836                    165 * 103 = 16995              841 ( = 29 * 29 )
(214)  182 * 98 = 17836                    165 * 107 = 17655               181
(215)  182 * 98 = 17836                    165 * 109 = 17985           -    149
(216)  182 * 98 = 17836                   165 * 111 = 18315           -     479
(217)  182 * 98 = 17836                   165 * 113 = 18645            -    809
(218)  182 * 101 = 18382                         165 * 107 = 17655               727
(219)    182 * 101 = 18382                         165 * 109 = 17985                 397
(220)    182 * 101 = 18382                         165 * 111 = 18315               67             
(221)   182 * 101 = 18382                         165 * 113 = 18645           -     263           
(222)    182 * 101 = 18382                         165 * 115 =  18975         -        593


The  prime  751  obtained  in  (175 )  repeated  in  ( 176 ) , but  the  former 
= 165 * 95  -  182 * 82   and  the  latter  =  182 * 83  -  165 * 87  ,  while 
          165 * 95  -  182 * 82   =  182 * 83  -  165 * 87 
<=>  165 * 95  +  165 * 87  =  182 * 83 + 182 * 82
<=>   165  * ( 95 + 87 ) =  182 * ( 83 + 82 )
<=>   165 * 182  =  182 * 165   .

It  is  quite  strange  that  then  the  prime  421  obtained  in  (174 )  was 
repeated  in  ( 177 ) by  * -1 ,  and  so  on  for  every  nos .  obtained  before , i.e. ,
the  list  is  symmetric ( for  absolute  value ) upwards  at  (175) and  downwards  at  (176) .
( It  seems  that  if  the  list  is  not  symmetric  at  certain  place  then  there  must 
be  something  wrong . )

Last edited by mr.wong (2016-12-09 15:14:14)

Offline

#19 2016-12-06 20:09:04

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

Since  the  nos.  generated  are  found  to  be  symmetric  from  (175)  upwards  with  (176)  downwards  . It  can  be  induced  that  the  value  in  ( r )  is 
identical  with  that  in  (351 - r )  by  * ( -1 )  for  r ≧ 7 . E.g. the  values  obtained  in 
(173)  is  239  and  (178)  - 239 .

Similarly  we  can  predict  that  the  value  obtained  in  (7)  , i.e.
182 * 1 - 165 * 1 = 17  will  occur  in  ( 351 - 7 ) = ( 344 )  as  - 17 .

Let  the  expression  in (344)  be  expressed  as  182 i - 165j  = -17 
where  i  is  relatively  prime  with  165 * j   while  j  is  relatively  prime 
with  182 * i .
Since  182i - 165j  =  -17  ⇒ 165 j  -  182i  = 182 - 165
                                           ⇒ 165 j  +  165  =  182 i  + 182 
                                           ⇒ 165 ( j + 1) =  182 ( i + 1)
A  solution  for  the  equation  is  j+1 = i+1 = 0  ⇒ j = -1  and  i = -1 ,
i.e.  the  expression  in (7) : 182 * 1 - 165 * 1 = 17 .

Another  solution  is   i + 1 = 165  and  j + 1 = 182 ,
⇒ i = 164   and  j = 181 .
Thus  the  expression  in  (344)  may  be  expressed  as 
182 * 164 - 165 * 181=   29848 -  29865= -17

A  third  solution  for  the  equation  may  be  i + 1 = 2 * 165 = 330 
and  j+1 = 2 * 182 = 364     ⇒ i = 329  and j = 363 .
i.e.  182 * 329 = 59878  -   165 * 363 =  59895      = -17  .

Last edited by mr.wong (2016-12-09 15:34:15)

Offline

#20 2016-12-09 15:39:03

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

Composite  no.  < 1000  containing  at  least  1  prime  factor  from  17  to  31 .(The  other  prime  factor  may  >  31 ,  but  will  <  1000 / 17  =  58 . 8 , i.e.  53 )  ( 27  ones ) :

( A )   Arranged  in  products  of  prime  factors 
  *  |  17    |  19   |  23  |  29  |  31  ||  37  |  41  |  43  |  47  |  53  |
17  |  289  | 323  | 391 | 493 | 527 || 629 | 697 | 731 | 799 | 901 |
19  |    /     | 361  | 437 | 551 | 589 || 703 | 779 | 817 | 893 |   /    |
23  |    /     |   /     | 529 | 667 | 713 || 851 | 943 | 989 |    /   |   /    |
29  |    /     |   /     |   /    | 841 | 899 ||   /    |    /   |   /    |    /   |    /   |
31  |    /     |   /     |    /   |   /    | 961 ||   /    |    /   |   /    |    /   |    /   |



( B )  Rearranged  in  ascending  order 
2xx   :    289
3xx   :   323  ,  361  , 391 
4xx   :   437  , 493 
5xx   :   527  , 529  ,  551  , 589 
6xx   :   629  , 667  , 697 
7xx   :   703  , 713  , 731  , 779  ,  799
8xx   :   817  , 841  , 851  , 893  ,  899 
9xx   :   901  , 943  , 961  , 989

Offline

#21 2016-12-15 15:09:57

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

Numbers  with  value  < 1000  generated  mainly  from  set  of  primes  <  17 .

( This  post  will  replace  # 17  and  # 18 )

Let  S  =  { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 }   and  take  A =  { 2 , 7 , 13 }  and  B = { 3 , 5 , 11 }  ,  thus   π A = 182  and   πB = 165   while   L1 = 17 ^2 =  289 .   
Multiply  182  by  i , and  165  by  j  where  i and  j  are  ± ve   integers ( excluding  0 ) . If  i  is  relatively  prime  with  165  and  j , while  j  is  relatively  prime  with  182  and  i ,  then  182 * i  is  relatively  prime  with  165 * j .   
Let   n  be  182 * i  - 165 * j   for  various  values  of  i  and  j  , clearly  n  is  not  divisible  by  primes <  17 , nor  every  prime  factors  of  i  and  j  .
If  n  generated   <  289 , then  n = 1  or  is  a  prime .
If  n > 289 , then  usually  we  have   to  check  further  the  divisibility  of  n  by
consecutive  primes  from  17  up  to  the  prime  just  <  √n  ( may  be  by  actual  division )  , excluding  those  prime  factors  of  i  or  j  . If  every  such  prime   does  not  divide  n , then  n  is  a  prime .

(  The  primality  of  n  may  also  be  checked  by  comparing  n  with  the  composite  no.  list  in  the  tables  at  #  20 , if  the  absolute  value  of  n  is  not  one  of  them , then  n  is  a  prime . )

In  the  following  we  shall  list  all  such  n's  with  absolute  value  < 1000 .
 
n = 182 * i  - 165 * j   

[   182 * i  +  165 * j   will  be  expressed  as    182 * i  - 165 *(- j )  ]

(1) 182 * 1 = 182      -         165 * -3 = - 495                         d = 677 (P)
(2) 182 * 1 = 182      -         165 * -1 = -165                         d = 347  (P)                 
(3) 182 * 1 = 182        -       165 * 1 = 165                            d = 17   (P)
(4) 182 * 1 = 182        -      165 * 3 = 495                            d =  -313 ( P )
(5) 182 * 1 = 182         -      165 * 5 = 825                           d =  - 643 (P)
(6) 182 * 1 = 182         -      165 * -3 = - 495                       d =  859 (P)
(7) 182 * 2 = 364        -       165 * -1 = - 165                       d =  529 ( = 23 * 23 )     
(8) 182 * 2 = 364          -      165 * 1 = 165                           d =   199  (P)             
(9) 182 * 2 = 364         -       165 * 3 = 495                           d =   -131  (P)
(10) 182 * 2 = 364         -     165 * 5 = 825                           d =   -461  (P)
(11) 182 * 4 = 728         -     165 * -1 = -165                        d = 893 ( = 19 * 47 )     
(12) 182 * 4 = 728         -      165 * 1 = 165                          d =    563 ( P)
(13) 182 * 4 = 728        -      165 * 3 = 495                            d =    233 ( P )
(14)  182 * 4 = 728       -      165 * 5 = 825                            d =   -97  ( P )
(15)  182 * 4 = 728      -       165 * 9 = 1485                          d = - 757 ( P )
(16) 182 * 7 = 1274     -      165 * 3 = 495                             d =   779 ( = 19 * 41)
(17) 182 * 7 = 1274     -      165 * 5 = 825                             d =   449 ( P )
(18) 182 * 7 = 1274     -      165 * 9 = 1485                           d =  - 211( P )
(19) 182 * 7 = 1274     -      165 *11 = 1815                          d =  -  541(P)
(20) 182 * 8 = 1456    -      165 * 3 = 495                              d =  961( = 31 * 31)
(21) 182 * 8 = 1456    -      165 * 5 = 825                              d =  631 ( P )
(22) 182 * 8 = 1456    -      165 * 9 = 1485                            d = - 29 ( P)
(23) 182 * 8 = 1456    -      165 *11 = 1815                          d =   - 359 (P)
(24) 182 * 13 = 2366  -     165 * 9 = 1485                           d =  881 (P)
(25) 182 * 13 = 2366   -    165 *11 = 1815                           d = 551( = 19 * 29)
(26) 182 * 13 = 2366       - 165 * 15 = 2475                         d =  - 109 (P)
(27) 182 * 13 = 2366       -  165 * 17 = 2805                        d =   -  439(P)
(28) 182 * 13 = 2366        -165 * 19 = 3135                        d =  -   769(P)
(29) 182 * 14 = 2548        -165 *11 = 1815                         d =     733(P)
(30) 182 * 14 = 2548        - 165 * 15 = 2475                        d =   -  73(P)
(31) 182 * 14 = 2548       -  165 * 17 = 2805                        d = -   257(P)
(32) 182 * 14 = 2548       - 165 * 19 = 3135                        d = -   587(P)
(33) 182 * 16 = 2912       - 165 * 15 = 2475                        d = 437(=19 * 23)
(34) 182 * 16 = 2912      - 165 *17 = 2805                          d = 107(P)
(35)  182 * 16 = 2912     -  165 * 19 = 3135                        d = - 223(P)
(36) 182 * 16 = 2912     -   165 * 23 = 3795                        d =  -   883(P)
(37) 182 * 17 = 3094       - 165 * 15 = 2475                        d =  619(P)
(38) 182 * 17 = 3094       -165 * 19 = 3135                         d =  -   41(P)
(39) 182 * 17 = 3094      -  165 * 23 = 3795                        d =- 701(P)
(40) 182 * 19 = 3458      - 165 * 15 = 2475                         d =  983 (P)
(41) 182 * 19 = 3458      -165 *17 = 2805                          d =  653(P)
(42) 182 * 19 = 3458      - 165 * 23 = 3795                         d = -   337(P)
(43) 182 * 19 = 3458      - 165 * 25 = 4125                         d =  -  667 ( = 23 * 29)
(44) 182 * 19 = 3458      - 165 * 27 = 4455                         d =  - 997 (P)
(45) 182 * 23 = 4186     - 165 * 25 = 4125                           d = 61  (P)     
(46) 182 * 23 = 4186     - 165 * 27 = 4455                        d = -  269(P)
(47) 182 * 23 = 4186     -  165 *29 = 4785                        d = -  599(P)
(48) 182 * 23 = 4186     -  165 * 31 = 5115                       d = - 929 (P)
(49) 182 * 26 = 4732     -  165 * 23 = 3795                        d =   937(P)
(50) 182 * 26 = 4732     - 165 * 25 = 4125                         d =    607(P)
(51) 182 * 26 = 4732     - 165 * 27 = 4455                         d =    277(P)
(52) 182 * 26 = 4732    - 165 * 29 = 4785                          d = -   53(P)   
(53) 182 * 26 = 4732    - 165 * 31 = 5115                          d =  - 383(P)
(54) 182 * 26 = 4732    - 165 * 33 =  5445                        d =  - 713 ( =  23 * 31 )
(55) 182 * 28 = 5096    - 165 * 25 = 4125                         d =    971 (P)
(56) 182 * 28 = 5096    -165 * 27 = 4455                           d =   641 (P)
(57) 182 * 28 = 5096    - 165 * 29 = 4785                          d =   311 (P)
(58)182 * 28 = 5096    -  165 * 31 = 5115                          d = -    19 (P)
(59)182 * 28 = 5096    - 165 * 33 = 5445                           d = -  349 (P)
(60) 182 * 29 = 5278   - 165 * 27 = 4455                           d =    823 (P)
(61) 182 * 29 = 5278   -165 * 31 = 5115                             d =163 (P)
(62)182 * 29 = 5278     -165 * 33 = 5445                           d = -  167 (P)
(63)182 * 29 = 5278      - 165 * 37 = 6105                         d =  -  827 (P)
(64) 182 * 31 = 5642     - 165 * 29 = 4785                         d =   857 (P)
(65) 182 * 31 = 5642     - 165 * 33 = 5445                          d = 197 (P)
(66) 182 * 31 = 5642     - 165 * 37 = 6105                           d =  -  463 (P)
(67) 182 * 32 = 5824     - 165 * 31 = 5115                           d =   709 (P)
(68) 182 * 32 = 5824     - 165 * 33 = 5445                            d =   379 (P)
(69) 182 * 32 = 5824     - 165 * 37 = 6105                           d = -   281 (P)
(70) 182 * 32 = 5824     - 165 *41 = 6765                            d = -  941 (P)
(71)182 * 34= 6188      -  165 * 33 = 5445                           d =    743 (P)
(72)182 * 34= 6188      -  165 * 37 = 6105                           d =     83 (P)
(73)182 * 34= 6188      -  165 * 41 = 6765                          d =  -   577 (P)
(74)182 * 34= 6188     -  165 * 43 = 7095                           d =   -   907 (P)
(75) 182 * 37 = 6734     - 165 *  41 = 6765                         d =  -    31 (P)
(76) 182 * 37 = 6734    - 165 * 43 = 7095                           d = - 361 ( = 19 * 19 )
(77) 182 * 37 = 6734    - 165 * 45 = 7425                           d =  -   691 (P)
(78) 182 * 38 = 6916    - 165 * 37 = 6105                           d =   811 (P)
(79) 182 * 38 = 6916    - 165 * 41 = 6765                           d =  151 (P)
(80) 182 * 38 = 6916    - 165 * 43 = 7095                          d = -   179 (P)
(81) 182 * 38 = 6916    - 165 * 45 = 7425                          d =  -    509 (P)
(82) 182 * 38 = 6916    -  165 * 47 = 7755                         d = -    839 (P)
(83) 182 * 41 = 7462    -  165 * 43 = 7095                          d =    367 (P)
(84) 182 * 41 = 7462    - 165 * 45 = 7425                           d =      37 (P)
(85) 182 * 41 = 7462   -  165 * 47 = 7755                           d =  -  293 (P)
(86) 182 * 41 = 7462   -  165 * 51 = 8415                         d =    -  953 (P)
(87) 182 * 43 = 7826   -  165 * 45 = 7425                         d =   401 (P)     
(88) 182 * 43 = 7826    - 165 * 47 = 7755                         d =     71 (P)
(89) 182 * 43 = 7826    - 165 * 51 = 8415                        d =   - 589 ( = 19 * 31 )
(90) 182 * 43 = 7826     -165 * 53 = 8745                        d =   -    919 (P)
(91) 182 * 46 = 8372    -165 * 45 = 7425                          d =    947 (P)
(92) 182 * 46 = 8372     -165 * 47 = 7755                        d =      617 (P)
(93) 182 * 46 = 8372    - 165 * 51 = 8415                         d =  - 43 (P)
(94) 182 * 46 = 8372    - 165 * 53 = 8745                         d =   -  373 (P)
(95) 182 * 46 = 8372     - 165 * 55 = 9075                        d = - 703 ( = 19 * 37 )
(96) 182 * 47 = 8554     - 165 * 51 = 8415                         d =    139 (P)
(97) 182 * 47 = 8554     - 165 * 53 = 8745                         d =   - 191 (P)
(98) 182 * 47 = 8554     -  165 * 55 = 9075                        d =   -    521 (P)
(99) 182 * 47 = 8554     -  165 * 57 = 9405                        d =  - 851 ( = 23 * 37 )
(100) 182 * 49 = 8918    - 165 * 51 = 8415                        d =    503 (P)
(101)182 * 49 = 8918   -  165 * 53 = 8745                         d =   173 (P)
(102)182 * 49 = 8918   -  165 * 55 = 9075                          d = -  157(P)
(103)182 * 49 = 8918   -  165 * 57 = 9405                           d =   - 487 (P)
(104)182 * 49 = 8918   -  165 * 59 = 9735                         d =   - 817 ( = 19 * 43 )
(105) 182 * 52 = 9464  -    165 * 53 = 8745                        d =    719 (P)
(106) 182 * 52 = 9464  -     165 * 55 = 9075                        d =    389 (P)
(107) 182 * 52 = 9464   -   165 * 57 = 9405                         d =     59 (P)
(108) 182 * 52 = 9464   -   165 * 59 = 9735                        d =  -   271 (P)
(109) 182 * 52 = 9464    -   165 * 61 = 10065                      d =  -601(P)
(110) 182 * 53 =  9646   -  165 * 53 = 8745                        d = 901 ( = 17 * 53)     
(111) 182 * 53 =  9646   -  165 * 55 = 9075                        d =  571 (P)
(112) 182 * 53 = 9646   -  165 * 57 = 9405                          d = 241  (P)
(113) 182 * 53 = 9646   -   165 * 59 = 9735                          d = - 89   (P) 
(114) 182 * 53 = 9646   -   165 * 61 = 10065                      d = - 419  (P)     
(115) 182 * 56 = 10192     -    165 * 57 = 9405                    d =  787  (P)   
(116) 182 * 56 = 10192    -    165 * 59 = 9735                     d =   457 (P)
(117) 182 * 56 = 10192   -   165 * 61 = 10065                      d =  127 (P)
(118) 182 * 56 = 10192   -   165 * 67 = 11055                      d = -    863 (P)
(119) 182 * 58 = 10556   -    165 * 59 = 9735                       d =     821 (P)
(120) 182 * 58 = 10556   -   165 * 61 = 10065                      d =     491 (P)
(121) 182 * 58 = 10556    -  165 * 67 = 11055                       d =  -   499 (P)
(122) 182 * 58 = 10556    -  165 * 69 = 11385                      d =  -   829 (P)
(123) 182 * 59 = 10738   -   165 * 61 = 10065                      d =   673 (P)
(124) 182 * 59 = 10738   -  165 * 67 = 11055                       d =  -   317  (P)
(125) 182 * 59 = 10738    - 165 * 69 = 11385                       d =  -   647 (P)
(126) 182 * 59 = 10738    -  165 * 71 =  11715                     d =  -    977 (P)
(127) 182 * 61 = 11102   -  165 * 67 = 11055                       d =   47  (P)
(128)  182 * 61 = 11102  -   165 * 69 = 11385                      d =  -  283 (P)
(129) 182 * 61 = 11102    -  165 * 71 = 11715                      d =  -   613 (P)
(130) 182 * 61 = 11102  -    165 * 73 =  12045                   d =  - 943 ( = 23 * 41 )
(131)  182 * 62 = 11284   -  165 * 67 = 11055                    d =     229 (P)
(132) 182 * 62 = 11284   -  165 * 69 = 11385                     d =  -  101 (P)
(133) 182 * 62 = 11284   -  165 * 71 = 11715                     d =  -   431(P)
(134) 182 * 62 = 11284   -  165 * 73 = 12045                     d =  -    761(P)
(135) 182 * 64 = 11648  -   165 * 67 = 11055                      d =  593 (P)
(136) 182 * 64 = 11648   -   165 * 69 = 11385                     d =   263(P)
(137) 182 * 64 = 11648    -   165 * 71 = 11715                    d = -   67  (P)             
(138) 182 * 64 = 11648     -   165 * 73 = 12045                   d =  -   397 (P)
(139) 182 * 64 = 11648    -   165 * 75 =  12375                   d =  -   727 (P)
(140) 182 * 67 =  12194   -   165 * 69 = 11385                    d =  809 (P)
(141) 182 * 67 =  12194  -   165 * 71 = 11715                   d =   479 ( P)
(142) 182 * 67 =  12194   -   165 * 73 = 12045                   d = 149 (P)
(143) 182 * 67 =  12194    -  165 * 75 =  12375                  d =   - 181 (P)
(144) 182 * 67 =  12194   -   165 * 79 =  13035                 d =  -  841 (= 29 * 29 )
(145) 182 * 68 =  12376    -   165 * 69 = 11385                 d =   991 (P)
(146) 182 * 68 =  12376    -   165 * 71 = 11715                 d =  661 (P)
(147) 182 * 68 =  12376   -    165 * 73 = 12045                 d = 331 (P)
(148) 182 * 68 =  12376   -    165 * 75 =  12375                 d = 1
(149) 182 * 68 =  12376    -   165 * 79 =  13035                 d =  -  659 (P)
(150) 182 * 68 =  12376    -   165 * 81 =  13365                 d =  -  989  (= 23*43)
(151) 182 * 71 =  12922    -    165 * 73 = 12045                 d =  877 (P)
(152) 182 * 71 =  12922    -    165 * 75 =  12375                d =  547 (P)
(153)  182 * 71 =  12922   -   165 * 79 =  13035                d =  -  113 (P)
(154) 182 * 71 =  12922    -   165 * 81 =  13365                d =  -   443 (P)
(155 ) 182 * 71 =  12922   -   165 * 83 = 13695                 d =  -   773 (P)
(156)  182 * 73 = 13286    -   165 * 75 =  12375               d =   911 (P)
(157)  182 * 73 = 13286    -   165 * 79 =  13035               d =  251 (P)
(158)   182 * 73 = 13286   -   165 * 81 =  13365               d =  -   79 (P)
(159)   182 * 73 = 13286   -   165 * 83 = 13695                d =  -   409 (P)
(160)  182 * 73 = 13286    -   165* 85 = 14025                 d =  -   739 (P)
(161) 182 * 74 = 13468     -   165 * 79 =  13035               d =  433 (P)
(162) 182 * 74 = 13468     -   165 * 81 = 13365                d =  103 (P)       
(163) 182 * 74 = 13468    -   165 * 83 = 13695                 d =  -  227 (P)
(164) 182 * 74 = 13468    -   165 * 85 = 14025                 d =  -   557 (P)   
(165) 182 * 74 = 13468    -   165 * 87 =  14355                d =   -  887 (P)
(166) 182 * 76 = 13832   -   165 * 79 =  13035                 d =   797 (P)
(167) 182 * 76 = 13832   -   165 * 81 =  13365                 d =   467 (P)
(168) 182 * 76 = 13832   -   165 * 83 = 13695                 d =   137 (P)
(169) 182 * 76 = 13832   -   165 * 85 = 14025                 d =  -  193 (P)
(170) 182 * 76 = 13832   -   165 * 87 = 14355                 d =   -  523 (P)
(171) 182 * 76 = 13832   -   165 * 89 = 14685                 d =  -   853 (P)
(172) 182 * 79 = 14378   -   165 * 83 = 13695                 d =   683 (P)
(173) 182 * 79 = 14378   -   165 * 85 = 14025                 d =   353 (P)
(174) 182 * 79 = 14378   -  165 * 87 = 14355                  d =   23 (P)
(175) 182 * 79 = 14378  -   165 * 89 = 14685                 d =   -  307 (P)
(176) 182 * 79 = 14378  -   165 * 93 = 15345                 d =  -    967 (P)
(177) 182 * 82 = 14924   -   165 * 85 = 14025                d =   899 (= 29 * 31)
(178) 182 * 82 = 14924    -   165 * 87 = 14355                d =    569 (P)
(179) 182 * 82 = 14924    -   165 * 89 = 14685                d =    239 (P)
(180) 182 * 82 = 14924   -    165 * 93 = 15345                d =   -  421(P)
(181) 182 * 82 = 14924   -   165 * 95 = 15675                 d =  -   751(P)
---------------------------------------------------------------------------------
(182) 182 * 83 = 15106   -   165 * 87 = 14355                 d =    751  ( P)
(183) 182 * 83 = 15106   -   165 * 89 = 14685                  d =  421  (P)
(184) 182 * 83 = 15106   -   165 * 93 = 15345                  d =  -  239  (P)               
(185) 182 * 83 = 15106   -   165 * 95 = 15675                  d =  -  569  (P)                 
(186) 182 * 83 = 15106   -   165 * 97 = 16005                  d =   - 899 (= 29 * 31 )
(187) 182 * 86 = 15652   -   165 * 89 = 14685                  d =   967  (P)
(188) 182 * 86 = 15652   -   165 * 93 = 15345                   d =  307  (P)
(189) 182 * 86 = 15652   -   165 * 95 = 15675                   d =  -  23 (P)
(190) 182 * 86 = 15652  -   165 * 97 = 16005                    d =  -  353 (P)
(191)  ................

The  absolute  value  of  n's   obtained  from  item (1)  to  item (181)  had  covered 
1 and  every  prime  from  17  onwards  to  997 (the  largest  prime < 1000 ) ,
together  with  all  the  composite  no . <  1000  consisting  of  no  prime  factor
from  2  to  13  and  contain  at  least  1  prime  factor  from  17  to  31 .

Beginning  from  item  (182)  its  value    =  value  of item  (181) * ( -1) .
In  general  the  value  of  item   (r)  = value  of  item  (363 - r) *( -1 ).
Thus  the  value  of  item (360)  will  be  value  of  item (3 ) * -1 ,  i.e.   -17 .
Similarly  value  of  last  item (362) will  be  677 * -1 = -677 .
Thus  the  absolute  values  from  (1) to ( 181)  will  be  symmetric  ( reflective )with  the  absolute  values  from    ( 182)    to   (362) .

Moreover , if  the  expression   at  item  (r)  is  182 * i  -  165 * j  , then  the  expression  at  item  (363 - r )  will  be  182 * ( 165 - i )  -  165 * ( 182 - j ) .

=  182 * 165 -  182 * i  -  165 * 182  +  165 * j
=  165 * j  -  182 * i 
= [ (182 * i  -  165 * j ) ] *( -1)

Since  the  expression  of  item  ( 1 ) = 182 * 1 - 165 * -3  = 677 ,  then  the  expression  of  item  ( 362 )  will  be  182 * 164  -  165 * 185  ,thus  the  expression  of  item  (363 )  will  be   
182 * 166 = 30212  -  165 * 179 = 29535 ,     getting   d = 677 = value  of  item (1).
For  item  (364 ) :  182 *166 = 30212  -  165 * 181 = 29865  ,  getting  d = 347 = value  of  item  (2) .

Thus  the  values  of  the  items  will  be  from  (1) .... to  (181) ,
(182)  , then .... to (362) , then  return  to  (1)  , (2) .... and  form  a  cycle .

Offline

#22 2016-12-18 21:06:49

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

To  generate  primes  from  sets  with  various  basic  primes

[ 1 ]
Numbers  with  value <  100  generated  mainly  from  set  of { 2 , 3 }

Let  S = { 2 , 3 }   and  take  A =  { 3 }  and  B = { 2 } ,
thus  π A = 3  and  πB = 2 , while  L = 5 ^2 = 25 .

To  generate   n = 3 * i + 2 * j     for  n < 100 .
 
(1)   3 * 1 = 3     +   2 * -1 = -2 ,     s = 1
(2)   3 * 1 = 3     +   2 * 1 = 2   ,     s = 5 (P)
(3)   3 * 1 = 3     +   2 * 2 = 4   ,     s = 7 (P)
(4)   3 * 1 = 3     +   2 * 4 = 8   ,     s = 11 (P)
(5)   3 * 1 = 3     +   2 * 5 = 10 ,     s = 13 (P)
(6)   3 * 1 = 3     +   2 * 7 = 14  ,    s = 17 (P)
(7)   3 * 1 = 3     +   2 * 8 = 16  ,   s = 19 (P)
(8)   3 * 1 = 3     +   2 * 10 = 20 ,  s = 23  (P)
(9 )  3 * 1 = 3     +   2 * 11 = 22 ,  s = 25 ( = 5 * 5 )
(10) 3 * 1 = 3     +   2 * 13 = 26 ,   s = 29 (P)
(11) 3 * 1 = 3     +   2 * 14 = 28  ,  s = 31 (P)
(12) 3 * 1 = 3     +   2 * 16 = 32  ,   s = 35 ( = 5 * 7 )
(13) 3 * 1 = 3     +   2 * 17 = 34  ,   s = 37 (P)
(14) 3 * 1 = 3     +   2 * 19 = 38  ,   s = 41 (P)
(15) 3 * 1 = 3     +   2 * 20 = 40  ,   s = 43 (P)
(16) 3 * 1 = 3     +   2 * 22 = 44 ,    s = 47 (P)
(17) 3 * 1 = 3     +   2 * 23 = 46  ,    s = 49 ( = 7 * 7 )
(18) 3 * 1 = 3     +   2 * 25 = 50  ,    s = 53 (P)
(19) 3 * 1 = 3     +   2 * 26 = 52  ,    s = 55 ( = 5 * 11 )
(20) 3 * 1 = 3     +   2 * 28 = 56  ,    s = 59 (P)
(21) 3 * 1 = 3     +   2 * 29 = 58  ,    s = 61 (P)
(22) 3 * 1 = 3     +   2 * 31 = 62  ,    s = 65 ( = 5 * 13 )
(23) 3 * 1 = 3     +   2 * 32 = 64  ,    s = 67 (P)
(24) 3 * 1 = 3     +   2 * 34 = 68  ,    s = 71 (P)
(25) 3 * 1 = 3     +   2 * 35 = 70  ,    s = 73 (P)
(26) 3 * 1 = 3     +   2 * 37 = 74  ,    s = 77 ( = 7 * 11 )
(27) 3 * 1 = 3     +   2 * 38 = 76  ,    s = 79 (P)
(28) 3 * 1 = 3     +   2 * 40 = 80  ,    s = 83 (P)
(29) 3 * 1 = 3     +   2 * 41 = 82  ,    s = 85 ( = 5 * 17 )
(30) 3 * 1 = 3     +   2 * 43 = 86  ,    s = 89 (P)
(31) 3 * 1 = 3     +   2 * 44 = 88  ,    s = 91 ( = 7 * 13 )
(32) 3 * 1 = 3     +   2 * 46 = 92  ,    s = 95 ( = 5 * 19 )
(33) 3 * 1 = 3     +   2 * 47 = 94  ,    s = 97 (P)

Offline

#23 2016-12-20 14:47:43

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

[ 2 ]
Numbers  with  value <  100  generated  mainly  from  set  of { 2 , 3 , 5}

Let  S = { 2 , 3, 5 }   and  take  A =  { 2 , 3 }  and  B = { 5 } ,
thus  π A = 6  and  πB = 5 , while  L = 7 ^2 = 49.

To  generate  n = 6 * i + 5 * j     for  n < 100 .

(1) 6 * 1 = 6      +  5 * -1 = -5 ,       s =  1
(2)  6 * 1 = 6        +   5 * 1 = 5    ,           s =  11 (P)
(3)  6 * 1 = 6        +   5 * 5 = 25  ,           s =  31 (P)
(4)  6 * 1 = 6        +   5 * 7 = 35  ,           s =  41  (P)
(5)  6 * 1 = 6       +   5 * 11 = 55 ,           s =  61 (P)
(6)  6 * 1 = 6       +   5 * 13 = 65 ,           s =  71 (P)
(7)  6 * 1 = 6      +   5 * 17 = 85 ,            s =  91 (= 7 * 13 )

(8)  6 * 2 = 12     +   5 * -1 = -5 ,      s =  7  (P)
(9)   6 * 2 = 12         +     5 * 1 = 5  ,          s = 17 (P)
(10) 6 * 2 = 12        +      5 * 5 = 25  ,        s = 37 (P)
(11) 6 * 2 =  12        +     5 * 7 = 35  ,        s =  47 (P)
(12)  6 * 2 =  12        +     5 * 11 = 55 ,       s =  67 (P)
(13)  6 * 2 =  12        +     5 * 13 = 65 ,       s =  77 ( = 7 * 11 )
(14)  6 * 2 =  12        +     5 * 17 = 85 ,       s =  97 (P)

(15)  6 * 3 = 18      +    5 * -1 = -5  ,         s = 13 (P)
(16)  6 * 3 = 18      +    5 * 1 =  5   ,          s = 23 (P)
(17)  6 * 3 = 18      +   5 * 5 = 25 ,           s = 43 (P)
(18 )  6 * 3 = 18      +   5 * 7 = 35 ,           s = 53 (P)
(19)  6 * 3 = 18      +   5 * 11 = 55 ,          s = 73 (P)
(20)   6 * 3 = 18      +   5 * 13 = 65 ,         s = 83 (P)

(21) 6 * 4 = 24      +    5 * -1 = -5  ,          s = 19 (P)
(22) 6 * 4 = 24      +    5 * 1 = 5   ,            s =  29 (P)
(23) 6 * 4 = 24      +    5 * 5 = 25  ,           s =  49 ( = 7 * 7 )
(24) 6 * 4 = 24      +    5 * 7 = 35  ,           s =  59 (P)
(25) 6 * 4 = 24      +    5 * 11 = 55 ,          s =  79 (P)
(26) 6 * 4 = 24      +    5 * 13 = 65 ,          s =  89 (P)

Offline

#24 2016-12-28 15:52:42

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

[ 3 ]
Numbers  with  absolute  value <  500  generated  mainly  from  set  of { 2 , 3 , 5, 7}

Let  S = { 2 , 3 , 5 , 7 }   and  take  A =  { 3 , 5 }  and  B = { 2 , 7 } ,
thus  π A = 15   and  πB = 14  , while  L = 11 ^2 = 121.



To  generate  n =  15 * i  - 14 * j   for  | n |<  500

Here  i  and  j  are  not  necessarily  coprime .  But  if  i  and  j 
are  not  relatively  prime  ,  then  n  will  be  composite  except 
when  i = j  =  p (  a  prime )  thus  n = p .


(1) 15 * 1 = 15     -   14 * - 34  =  - 476  ,  d = 491 (P)
(2) 15 * 1 = 15     -   14 * - 32 = - 448 ,   d = 463 (P)
(3) 15 * 1 = 15     -   14 * - 31 = - 434 ,   d = 449 (P)
(4) 15 * 1 = 15     -   14 * - 29 = - 406 ,   d = 421 (P)
(5) 15 * 1 = 15     -   14 * - 28 = - 392 ,   d = 407 ( = 11 *37)
(6) 15 * 1 = 15     -   14 * - 26 = - 364 ,   d = 379  (P)
(7) 15 * 1 = 15     -   14 * - 23 = - 322 ,   d = 337  (P)
(8) 15 * 1 = 15     -   14 * - 22 = - 308 ,   d = 323  ( = 17 *19)
(9) 15 * 1 = 15     -   14 * - 19 = - 266 ,   d = 281   (P)
(10)15 * 1 = 15     -  14 * - 17 = - 238 ,   d = 253  ( = 11 * 23)
(11) 15 * 1 = 15     -  14 * - 16 = - 224 ,   d = 239  (P)
(12) 15 * 1 = 15     -  14 * - 14 = - 196 ,   d = 211  (P)
(13) 15 * 1 = 15     -  14 * - 13 = - 182 ,   d = 197  (P)
(14)  15 * 1 = 15     -   14 * -11 = - 154 ,   d = 169  ( = 13*13)
(15) 15 * 1 = 15     -   14 * - 8  = - 112 ,   d = 127  (P)
(16) 15 * 1 = 15     -   14 * - 7  = - 98   ,   d = 113  (P)
(17) 15 * 1 = 15     -   14 * - 4  = - 56   ,   d =  71   (P)
(18) 15 * 1 = 15     -   14 * - 2 =  - 28   ,   d = 43   (P)
(19) 15 * 1 = 15     -   14 * - 1 =  - 14   ,   d = 29   (P)
( 20 ) 15 * 1 = 15    -    14 * 1 = 14  ,        d = 1
( 21 ) 15 * 1 = 15    -    14 * 2 = 28  ,        d = - 13 (P)
( 22 ) 15 * 1 = 15    -    14 * 4 = 56  ,        d = - 41 (P)
( 23) 15 * 1 = 15    -    14 * 7 = 98  ,         d = - 83 (P)
( 24) 15 * 1 = 15    -    14 * 8 = 112 ,         d = - 97 (P)
( 25) 15 * 1 = 15    -    14 * 11 = 154 ,       d = - 139 (P)
( 26 ) 15 * 1 = 15    -    14 * 13 = 182 ,      d = - 167 (P)
( 27) 15 * 1 = 15    -    14 * 14 = 196 ,       d = - 181 (P)
(28)  15 * 1 = 15    -    14 * 16 = 224 ,     d = - 209 ( = 11*19 )
(29)  15 * 1 = 15    -    14 * 17 = 238  ,      d = - 223  ( P)
(30)  15 * 1 = 15    -    14 * 19 = 266  ,      d = - 251  (P)
(31)  15 * 1 = 15    -    14 * 22 = 308  ,       d = - 293  (P)
(32)  15 * 1 = 15    -    14 * 23 = 322  ,      d = - 307  (P)
(33)  15 * 1 = 15    -    14 * 26 = 364  ,      d = - 349  (P)
(34)  15 * 1 = 15    -    14 * 28 = 392  ,      d = - 377 (= 13*29)
(35)  15 * 1 = 15    -    14 * 29 = 406  ,      d = - 391 (= 17*23)
(36)  15 * 1 = 15    -    14 * 31 = 434  ,      d = -419  (P)
(37)  15 * 1 = 15    -    14 * 32 = 448  ,      d = - 433 (P)
(38)  15 * 1 = 15    -    14 * 34 = 476  ,      d = - 461 (P)

(39)  15 * 3 = 45    -    14 * - 32 = - 448 ,   d = 493 (= 17*29)
(40)  15 * 3 = 45    -    14 * - 31 = - 434 ,   d = 479  (P)
(41)  15 * 3 = 45    -    14 * - 29 = - 406 ,    d = 451 (= 11*41)
(42)  15 * 3 = 45    -    14 * - 28 = - 392 ,    d = 437 ( =19*23)
(43)  15 * 3 = 45    -    14 * - 26 = - 364 ,    d = 409  (P)
(44) 15 * 3 = 45    -     14 * - 23 = - 322 ,    d = 367  (P)
(45) 15 * 3 = 45    -     14 * - 22 = - 308 ,    d = 353  (P)
(46) 15 * 3 = 45    -     14 * - 19 = - 266 ,    d = 311  (P)
(47) 15 * 3 = 45    -     14 * - 17 = - 238 ,    d = 283  (P)
(48) 15 * 3 = 45    -      14 * - 16 = - 224 ,    d = 269  (P)
(49) 15 * 3 = 45    -     14 * - 14 = - 196 ,     d = 241  (P)
(50) 15 * 3 = 45    -     14 * - 13 = - 182 ,     d = 227  (P)
(51) 15 * 3 = 45    -     14 * -11 = - 154 ,     d = 199  (P)
(52) 15 * 3 = 45    -     14 * - 8  = - 112 ,     d = 157  (P)
(53) 15 * 3 = 45    -     14 * - 7  = - 98   ,    d = 143  ( =11*13)
(54) 15 * 3 = 45    -     14 * - 4  = - 56   ,   d = 101  (P)
(55) 15 * 3 = 45    -     14 * - 2 =  - 28   ,   d = 73  (P)
(56) 15 * 3 = 45    -     14 * - 1 =  - 14   ,   d = 59  (P)
(57)15 * 3 =  45    -     14 * 1  = 14 ,        d = 31 (P)
(58) 15 * 3 = 45    -    14 * 2 = 28     ,      d = 17 (P)
(59)15 * 3 = 45    -    14 * 4 = 56     ,     d = - 11 (P)
(60)15 * 3 = 45    -    14 * 7 = 98     ,     d = - 53 (P)
(61 )15 * 3 = 45    -    14 * 8 = 112   ,     d = - 67 (P)
(62 )15 * 3 = 45    -    14 * 11 = 154 ,     d = - 109 (P)
(63) 15 * 3 = 45    -    14 * 13 = 182 ,     d = - 137 (P)
(64) 15 * 3 = 45    -    14 * 14 = 196 ,     d = - 151 (P)
(65) 15 * 3 = 45    -    14 * 16 = 224 ,   d = - 179 (P)
(66) 15 * 3 = 45    -    14 * 17 = 238 ,   d = - 193 (P)
(67) 15 * 3 = 45    -    14 * 19 = 266     d = - 221 (P)
(68) 15 * 3 = 45    -    14 * 22 = 308 ,   d = - 263 (P)
(69) 15 * 3 = 45    -    14 * 23 = 322  ,  d = - 277 (P)
(70) 15 * 3 = 45    -    14 * 26 = 364  ,  d = - 319 ( = 11*29)
(71) 15 * 3 = 45    -    14 * 28 = 392  ,  d = - 347 (P)
(72) 15 * 3 = 45    -    14 * 29 = 406  ,   d = - 361 ( = 19 *19)
(73) 15 * 3 = 45    -    14 * 31 = 434   ,  d = - 389  (P)
(74) 15 * 3 = 45    -    14 * 32 = 448  ,   d = - 403  ( =13 * 31)
(75) 15 * 3 = 45    -     14 * 34 = 476  ,  d =  - 431 (P)
(76) 15 * 3 = 45    -     14 * 37 = 518  ,   d = - 473 ( =11 * 43)
(77) 15 * 3 = 45    -     14 * 38 = 532  ,   d = - 487 (P)

(78) 15 * 5 = 75     -    14 * -29 = - 406 ,  d = 481 ( = 13*37)
(79) 15 * 5 = 75     -    14 * -28 = - 392  ,  d = 467 (P)
(80) 15 * 5 = 75     -    14 * -26 = - 364  ,  d = 439 (P)
(81) 15 * 5 = 75     -    14 * -23 = - 322  ,  d = 397 (P)
(82) 15 * 5 = 75     -    14 *- 22 = - 308  ,  d = 383 (P)
(83) 15 * 5 = 75     -    14 * -19 = - 266  ,  d = 341 (= 11*31)   
(84) 15 * 5 = 75     -    14 * -17 = - 238  ,  d = 313  (P)
(85) 15 * 5 = 75     -    14 * -16 = - 224  ,  d = 299  (= 13*23)
(86) 15 * 5 = 75     -    14 * -14 = - 196  ,  d = 271 (P)
(87) 15 * 5 = 75     -    14 * -13 = - 182  ,  d = 257 (P)
(88) 15 * 5 = 75     -    14 * -11 = - 154  ,  d = 229 (P)
(89) 15 * 5 = 75     -    14 * - 8 = - 112   ,  d = 187 (= 11*17)
(90) 15 * 5 = 75     -    14 * - 7 = - 98      , d = 173 (P)
(91) 15 * 5 = 75     -    14 * - 4 = - 56    ,   d = 131 (P)
(92) 15 * 5 = 75     -    14 * - 2 = - 28  ,     d = 103 (P)
(93) 15 * 5 = 75     -    14 * - 1 = - 14  ,     d = 89   (P)
(94) 15 * 5 = 75     -    14 * 1 = 14   ,        d = 61   (P)
(95) 15 * 5 = 75     -    14 * 2 = 28   ,       d = 47   (P)
(96) 15 * 5 = 75     -    14 * 4 = 56   ,       d = 19   (P)
(97) 15 * 5 = 75     -    14 * 7 = 98   ,       d = - 23 (P)
(98) 15 * 5 = 75     -    14 * 8 = 112 ,       d = - 37 (P)
(99) 15 * 5 = 75     -   14 * 11 = 154 ,     d = - 79 (P)
(100)15 * 5 = 75     -   14 * 13 = 182 ,     d = - 107 (P)
(101) 15 * 5 = 75     -  14 * 14 = 196 ,     d = - 121(= 11*11)
(102) 15 * 5 = 75     -  14 * 16 = 224 ,     d = - 149 (P)
(103) 15 * 5 = 75     -  14 * 17 = 238 ,     d = - 163 (P)
(104) 15 * 5 = 75     -  14 * 19 = 266 ,     d = - 191 (P)   
(105) 15 * 5 = 75     -  14 * 22 = 308 ,     d = - 233 (P)
(106) 15 * 5 = 75     -  14 * 23 = 322  ,    d = - 247 (=13*19)
(107) 15 * 5 = 75     -  14 * 26 = 364  ,    d = - 289 ( =17*17)
(108) 15 * 5 = 75     -  14 * 28 = 392  ,    d = - 317 (P)
(109) 15 * 5 = 75     -  14 * 29 = 406  ,    d = - 331 (P)
(110) 15 * 5 = 75     -  14 * 31 = 434  ,    d = - 359 (P)
(111) 15 * 5 = 75     -  14 * 32 = 448  ,    d = - 373 (P)
(112) 15 * 5 = 75     -  14 * 34 = 476  ,    d = - 401 (P)
(113) 15 * 5 = 75     -  14 * 37 = 518  ,    d = - 443 (P)
(114) 15 * 5 = 75     -  14 * 38 = 532  ,    d = - 457 (P)
(115) 15 * 5 = 75     -  14 * 41 = 574  ,    d = - 499 (P)
-------------------------------------------------------------------------
(116) 15 * 9 = 135   -  14 * - 26 = - 364  , d = 499
(117) 15 * 9 = 135   -  14 * - 23 = - 322  , d = 457
(118) 15 * 9 = 135   -  14 * - 22 = -  308 ,  d = 443
(119) 15 * 9 = 135   -  14 * - 19 = - 266  ,  d = 401
(120) 15 * 9 = 135   -  14 * - 17 = - 238  ,  d = 373
(121) 15 * 9 = 135   -  14 * - 16 = - 224  ,  d = 359
(122) 15 * 9 = 135   -  14 * - 14 = - 196  ,  d = 331
(123) 15 * 9 = 135   -  14 * - 13 = - 182  ,  d = 317
(124) 15 * 9 = 135   -  14 * - 11 = - 154  ,  d = 289 (=17*17)
(125) 15 * 9 = 135   -  14 * - 8   = - 112  ,  d = 247 (=13*19)
(126) 15 * 9 = 135   -  14 * -  7 = - 98     ,  d = 233
(127) 15 * 9 = 135   -  14 * - 4 = - 56      ,  d = 191
(128) 15 * 9 = 135   -  14 * - 2 = - 28      ,  d = 163
(129) 15 * 9 = 135   -  14 * - 1 = - 14      ,  d = 149
(130) 15 * 9 = 135   -  14 * 1 = 14          ,  d = 121 (=11*11)
(131) 15 * 9 = 135   -  14 * 2 = 28          ,  d = 107
(132) 15 * 9 = 135   -  14 * 4 = 56          ,  d = 79
(133) 15 * 9 = 135   -  14 * 7 = 98           , d = 37
(134) 15 * 9 = 135   -  14 * 8 = 112   ,       d = 23
(135) 15 * 9 = 135   -  14 * 11 = 154  ,      d = - 19
(136) 15 * 9 = 135   -  14 * 13 = 182  ,      d = - 47
(137) 15 * 9 = 135   -  14 * 14 = 196  ,      d = - 61
(138) 15 * 9 = 135   -  14 * 16 = 224  ,      d = - 89
(139) 15 * 9 = 135   -  14 * 17 = 238  ,      d = - 103
(140) 15 * 9 = 135   -  14 * 19 = 266  ,      d = - 131
(141) 15 * 9 = 135   -  14 * 22 = 308  ,      d = - 173
(142) 15 * 9 = 135   -  14 * 23 = 322  ,      d = - 187 (=11*17)
(143) 15 * 9 = 135   -  14 * 26 = 364  ,      d = - 229
(144) 15 * 9 = 135   -  14 * 28 = 392  ,      d = - 257
(145) 15 * 9 = 135   -  14 * 29 = 406  ,      d = - 271
(146) 15 * 9 = 135   -  14 * 31 = 434  ,      d = - 299 (=13*23)
(147) 15 * 9 = 135   -  14 * 32 = 448  ,      d = - 313
(148) 15 * 9 = 135   -  14 * 34 = 476  ,      d = - 341 (=11*31)
(149) 15 * 9 = 135   -  14 * 37 = 518  ,      d = - 383
(150) 15 * 9 = 135   -  14 * 38 = 532 ,       d = - 397
(151) 15 * 9 = 135   -  14 * 41 = 574 ,       d = - 439
(152) 15 * 9 = 135   -  14 * 43 = 602 ,       d = - 467
(153) 15 * 9 = 135   -  14 * 44 = 616 ,       d = - 481 (=13*37)

(154) 15 * 11 = 165  -  14 * - 23 = - 322 ,  d = 487
(155) 15 * 11 = 165  -   14 * -22 = - 308  , d = 473 (=11*43)
(156) 15 * 11 = 165  -   14 * -19 = - 266  , d = 431
(157) 15 * 11 = 165  -   14 * -17 = - 238  , d = 403 (=13*31)
(158) 15 * 11 = 165  -   14 * -16 = - 224 ,  d = 389
(159) 15 * 11 = 165  -   14 * -14 = - 196 ,  d = 361 (=19*19)
(160) 15 * 11 = 165  -   14 * -13 = - 182 ,  d = 347
(161) 15 * 11 = 165  -   14 * -11 = - 154 ,  d = 319  (=11*29)     
(162) 15 * 11 = 165  -   14 * - 8 = - 112 ,   d = 277
(163) 15 * 11 = 165  -   14 * - 7 = - 98  ,    d = 263
(164)15 * 11 = 165  -    14 * - 4 = - 56  ,    d = 221
(165)15 * 11 = 165  -    14 * - 2 = - 28  ,    d = 193
(166)15 * 11 = 165  -    14 * -1 = - 14  ,     d = 179
(167)15 * 11 = 165  -    14 * 1 =  14    ,      d = 151
(168)15 * 11 = 165  -    14 * 2 = 28     ,      d = 137
(169)15 * 11 = 165  -    14 * 4 = 56     ,      d = 109
(170)15 * 11 = 165  -    14 * 7 = 98     ,      d = 67
(171)15 * 11 = 165  -    14 * 8 = 112   ,      d = 53
(172)15 * 11 = 165  -    14 * 11= 154  ,      d = 11     
(173)15 * 11 = 165  -    14 * 13 = 182   ,    d = - 17
(174)15 * 11 = 165  -    14 * 14 = 196   ,    d = - 31
(175)15 * 11 = 165  -    14 * 16 = 224   ,    d = - 59
(176)15 * 11 = 165  -    14 * 17 = 238   ,    d = - 73
(177)15 * 11 = 165  -    14 * 19 = 266   ,    d = - 101
(178)15 * 11 = 165  -    14 * 22 = 308   ,    d = - 143  (11*13)
(179)15 * 11 = 165  -    14 * 23 = 322   ,    d = - 157   
(180)15 * 11 = 165  -    14 * 26 = 364   ,    d = - 199
(181)15 * 11 = 165  -    14 * 28 = 392   ,    d = - 227
(182)15 * 11 = 165  -    14 * 29 = 406   ,    d = - 241
(183)15 * 11 = 165  -    14 * 31 = 434   ,    d = - 269
(184) 15 * 11 = 165  -   14 * 32 = 448   ,    d = - 283
(185)15 * 11 = 165  -    14 * 34 = 476   ,    d = - 311   
(186)15 * 11 = 165  -    14 * 37 = 518   ,    d = - 353
(187)15 * 11 = 165  -    14 * 38 = 532   ,    d = - 367
(188)15 * 11 = 165  -    14 * 41 = 574   ,    d = - 409
(189)15 * 11 = 165  -    14 * 43 = 602   ,    d = - 437 (=19*23)
(190)15 * 11 = 165  -    14 * 44 = 616    ,   d = - 451 (=11*41) 
(191)15 * 11 = 165  -    14 * 46 = 644    ,   d = - 479
(192)15 * 11 = 165  -    14 * 47 = 658    ,   d = - 493 (=17*29)

(193)15 * 13 = 195   -    14 * - 19 = - 266 ,  d = 461
(194)15 * 13 = 195   -    14 * - 17 = - 238 ,  d = 433
(195)15 * 13 = 195   -    14 * - 16 = - 224 ,  d = 419
(196)15 * 13 = 195   -    14 * - 14 = - 196 ,  d = 391 (=17*23)
(197)15 * 13 = 195   -    14 * - 13 = - 182 ,  d = 377  (=13*29)   
(198)15 * 13 = 195   -    14 * - 11 = - 154 ,  d = 349
(199)15 * 13 = 195   -    14 * - 8 = - 112   ,  d = 307
(200)15 * 13 = 195   -    14 * - 7 = - 98    ,   d = 293
(201)15 * 13 = 195   -    14 * - 4 = - 56   ,    d = 251
(202)15 * 13 = 195   -    14 * - 2 = - 28   ,    d = 223
(203)15 * 13 = 195   -    14 * - 1 = - 14  ,     d = 209 (=11*19)
(204)15 * 13 = 195   -    14 *  1 =  14  ,       d = 181
(205)15 * 13 = 195   -    14 *  2 =  28  ,       d = 167
(206)15 * 13 = 195   -    14 *  4 =  56  ,       d = 139
(207)15 * 13 = 195   -    14 *  7 =  98  ,       d = 97
(208)15 * 13 = 195   -    14 *  8 =  112  ,     d = 83
(209)15 * 13 = 195   -    14 *  11 = 154  ,    d = 41
(210)15 * 13 = 195   -    14 *  13 = 182  ,    d = 13       
(211)15 * 13 = 195   -    14 *  14 = 196  ,    d = -1
(212)15 * 13 = 195   -    14 *  16 = 224  ,    d = - 29
(213)15 * 13 = 195   -    14 *  17 = 238  ,    d = - 43
(214)15 * 13 = 195   -    14 *  19 = 266  ,    d = - 71
(215)15 * 13 = 195   -    14 *  22 = 308  ,    d = - 113
(216)15 * 13 = 195   -    14 * 23 = 322  ,     d = - 127
(217)15 * 13 = 195   -    14 * 26 = 364  ,     d = - 169 (=13*13)
(218)15 * 13 = 195   -    14 * 28 = 392  ,     d = - 197
(219)15 * 13 = 195   -    14 * 29 = 406  ,     d = - 211
(220)15 * 13 = 195   -    14 * 31 = 434  ,     d = - 239
(221)15 * 13 = 195   -    14 * 32 = 448  ,     d = - 253 (=11*23)
(222)15 * 13 = 195   -    14 * 34 = 476  ,     d = - 281
(223)15 * 13 = 195   -    14 * 37 = 518  ,     d = - 323 (=17*19)
(224)15 * 13 = 195   -    14 * 38 = 532  ,     d = - 337
(225)15 * 13 = 195   -    14 * 41 = 574  ,     d = - 379
(226)15 * 13 = 195   -    14 * 43 = 602  ,     d = - 407 (11*37)
(227)15 * 13 = 195   -    14 * 44 = 616  ,     d = - 421
(228)15 * 13 = 195   -    14 * 46 = 644  ,     d = - 449
(229)15 * 13 = 195   -    14 * 47 = 658  ,     d = - 463
(230)15 * 13 = 195   -    14 * 49 = 686  ,     d = - 491

(231) 15 * 15 = 225   -    14 * -19 = - 266 ,   d = 491  while   
( 1 ) = 15 *  1  = 15     -   14 * -34  = - 476 ,  d = 491

Beginning  from  item  (116)  its  value    =  value  of item  (115) * ( -1) .
In  general  the  value  of  item   (r)  = value  of  item  (231 - r) *( -1 ).
Thus  the  value  of  item (230)  will  be  value  of  item (1 )  * -1 ,  i.e.   - 491 .  The  absolute  values  from  (1) to ( 115)  will  be  symmetric  ( reflective )with  the  absolute  values  from    ( 116)    to   (230)   and  repeat  the  cycle  starting  from  (231) .


15 * i - 14 * j = 15 * (i + 14)  - 14 * (j + 15 )
                    = 15 * (i - 14 ) -  14 * (j - 15 )
                    =  15 * ( i - 14n ) -  14 * ( j - 15n )  ..................(I)

15 * i - 14 * j = -1 * { 15 * 28 - 15 * i  -  14 * 30  + 14 * j  }
                     = -1 * { 15 * ( 28 - i) -  14 * ( 30 - j )}
                     = -1* { 15 * (14n - i) -  14 * ( 15n - j ) }.......(II)



Appendix :

List  of  composite  no.  <  500  not  containing    2 , 3 , 5  or  7  as factor  but  with  at  least  1   factor  of  11 , 13 , 17  or  19 .   ( 23  ones )

( A )   Arranged  in  products  of  prime  factors 

  *   |  11    |  13   |  17  |  19  ||  23  |  29  |  31  |  37  |  41  |  43  |
11  |  121  | 143  | 187 | 209 || 253 | 319 | 341 | 407 | 451 | 473 |
13  |    /     | 169  | 221 | 247 || 299 | 377 | 403 | 481 |   /    |   /    |
17  |    /     |   /     | 289 | 323 || 391 | 493 |    /   |   /    |   /    |    /   |
19  |    /     |   /     |   /    | 361 || 437 |    /   |    /   |   /    |    /   |    /   |


( B )  Rearranged  in  ascending  order

1xx   :  121  , 143  , 169  , 187
2xx   :   209 , 221 , 247 , 253 ,  289 , 299
3xx   :   319 , 323  , 341 ,  361  , 377 , 391
4xx   :   403 , 407 , 437  , 451 , 473 , 481 , 493

Offline

#25 2016-12-29 16:37:47

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 213

Re: An algorithm to generate primes

[ 4 ]
Numbers  with  absolute  value <  100  generated  mainly  from  set  of { 2 , 3 , 7}

Let  S = { 2 , 3 , 7 }   and  take  A =  { 7 }  and  B = { 2 , 3 } ,
thus  π A = 7   and  πB = 6  , while  L = 11 ^2 = 121  .


To  generate  n =  7 * i  -  6 * j   for | n |  <  100  .

(1) 7 * 1 =  7   -    6 * - 15 = - 90   ,       d = 97 (P)
(2) 7 * 1 =  7   -    6 * - 13 = - 78   ,       d = 85  ( = 5 * 17)
(3) 7 * 1 =  7   -    6 * - 12 = - 72   ,       d = 79 (P)
(4) 7 * 1 =  7   -    6 * - 11 = - 66   ,       d = 73 (P)
(5) 7 * 1 =  7   -    6 * - 10 = - 60   ,       d = 67 (P)
(6) 7 * 1 =  7   -    6 * - 9  = - 54   ,        d = 61 (P)
(7) 7 * 1 =  7   -    6 * - 8  = - 48   ,        d = 55  ( = 5 * 11)
(8) 7 * 1 =  7   -    6 * - 6 = -  36   ,        d = 43 (P)
(9) 7 * 1 =  7   -    6 * - 5 = -  30   ,        d = 37 (P)
(10)7 * 1 =  7   -   6 * - 4 = -  24   ,        d = 31 (P)
(11)7 * 1 =  7   -   6 * - 3 = -  18   ,        d =  25  ( = 5 * 5)
(12)7 * 1 =  7   -   6 * - 2 = -  12   ,        d = 19 (P)
(13)7 * 1 =  7   -   6 * - 1 = -    6   ,        d = 13 (P) 
(14)7 * 1 =  7   -   6 * 1   =       6   ,        d = 1
(15)7 * 1 =  7   -   6 * 2   =      12  ,        d = -5   (P)
(16)7 * 1 =  7   -    6 * 3  =      18  ,        d = - 11 (P)
(17)7 * 1 =  7   -    6 * 4 =       24  ,        d = - 17 (P)
(18)7 * 1 =  7   -    6 * 5 =       30  ,        d = - 23 (P)
(19)7 * 1 =  7   -    6 * 6 =       36  ,        d = - 29 (P)
(20)7 * 1 =  7   -    6 * 8 =       48  ,        d = - 41 (P)
(21)7 * 1 =  7   -    6 * 9 =       54  ,        d = - 47 (P)
(22)7 * 1 =  7   -    6 * 10 =     60  ,        d = - 53 (P)
(23)7 * 1 =  7   -    6 * 11 =     66  ,        d = - 59 (P)
(24)7 * 1 =  7   -    6 * 12 =     72  ,        d = - 65  = ( 5 * 13)
(25)7 * 1 =  7   -    6 * 13 =     78  ,        d = - 71 (P)
(26)7 * 1 =  7   -    6 * 15 =     90  ,        d = - 83 (P)
(27)7 * 1 =  7   -    6 * 16 =     96  ,        d = - 89 (P)
(28)7 * 1 =  7   -    6 * 17 =    102 ,        d = - 95 ( = 5 *19)

(29)7 * 5 = 35  -    6 * - 10 =  - 60  ,       d = 95 ( = 5 *19)
(30)7 * 5 = 35  -    6 * - 9   = - 54   ,       d = 89
(31)7 * 5 = 35  -    6 * - 8   = - 48   ,       d = 83

Thus  from  (1)  to  (28)  the  n's  so  generated  had  covered 
1 , 5  and  primes  with  absolute  value  from  11  to  97 ,  together 
with  multiples  of  5  <  100  excluding  2 ,  3  and  7 .

Offline

Board footer

Powered by FluxBB