Math Is Fun Forum
  Discussion about math, puzzles, games and fun.   Useful symbols: ÷ × ½ √ ∞ ≠ ≤ ≥ ≈ ⇒ ± ∈ Δ θ ∴ ∑ ∫ • π ƒ -¹ ² ³ °

You are not logged in.

#1 2017-08-19 15:41:53

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 244

Digit system of base ∞ ( infinity )

( I )  Number  and  digits 

Quantities  are  represented  in  numbers  , which  are  formed 
by  digits . By  repetition  and  different  orders  of  finite  digits ,
we  can  form   infinite  numbers .

( II )  Digits  of  numbers  with  various  bases 

(1) base  10 ( ten )
    The  set  of  digits  used  in  base  10  contains  0 , 1 , 2 ,
     3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8  and  9 .

(2) base  2 ( two )
     There  are  only  2  digits  in  base  2 :  0  and  1 .

(3) base  16 ( sixteen )
     For  bases  > 10  , say  base  16 ,the  1st  part  of  the  set  of
    digits  will  be  from  0  to  9 , then  for  values  > 9 , traditionally           
     we  use  capital  alphabets  A , B , C , D , E  and  F  , each 
     representing  a  single - digited  no.  corresponding  to 
     values  10 , 11 , 12 , 13 , 14  and  15  respectively . ( being
     2- digited  no. of  base  ten . )

( III ) base  ∞ ( infinity )
    We  shall  create  a  digit  system  of  base  ∞  in  the 
  following  way : Every  digit  of  base ∞  will  consists  of 
2  parts .
( i )  the  value  corresponding  to  a  number  in  base  ten ,
       which  may  be  single - digited  or  multiple - digited .
       
( ii ) the  above  number  enclosed  in  a  pair  of  brackets
       "「 "    and   " 」" .   (  「  and    」  are  bracket  signs 
       usually  used  in  writing  Chinese . )
  Thus  the  set  of  digits  of  base ∞  will  be  :  「0」, 「 1」,
    「2 」, 「 3」, 「 4」, 「5 」,  「 6」,  「7 」, 「8 」, 「9 」,
   「10 」, 「11 」...........「99」,「100」, and  so  on  up  to 「∞」.
    This  means  the  shapes  of  these  digits  are  mainly 
    borrowed  from  the  numbers  used  in  base  10 .
                     
( IV ) Combined  digit  system  of  base  10  and  base ∞
   By  adopting  digits  0 , 1 , ...... 8 , and  9  of  base 10 , together   
   with  digits  「10 」, 「11 」, 「12」... up  to 「∞」of  base ∞,
   a  more  convenient  digit  system  can  be  formed .
  For  bases  ≦ 10 , the  set  of  digits  of  base  10  will  be  enough ,
  if  single  digits   with  values  > 10  are  required , then  digits
  such  as  「10 」, 「11 」etc  will  also  be  used .
   For  example , the  set  of  digits  of  base  16  will  be  from 
  0 , 1 , ...  to  9 , together  with  「10 」, 「11 」, ...  up  to  「15」.
  Comparing  with  using  alphabets  A , B , ...  to  F  in  the  traditional 
way  , the  advantage  of using  digits  taken  from  base  ∞  is  that
it  will  be  more  intuitive , the  exact  value  of  the  digits  can 
be  obtained  at  a  glance .
     

( V )  Borrowing  of  digits  from  higher  bases
     Although  the  set  of  digits  for  a  base 「n 」will  be  from 
     0  to  「n - 1」, but  it  is  sometimes  convenient   to  borrow  digits
    from  a  higher  base .
   For  example , in  base  10 , to  denote  the  no.  34  we  may  also 
   write  2 「14」, 1 「24」 or  「34」 .

Offline

#2 2017-08-19 15:50:07

ganesh
Administrator
Registered: 2005-06-28
Posts: 23,202

Re: Digit system of base ∞ ( infinity )

mr.wong,

Ingenious!


It is no good to try to stop knowledge from going forward. Ignorance is never better than knowledge - Enrico Fermi. 

Nothing is better than reading and gaining more and more knowledge - Stephen William Hawking.

Offline

#3 2017-08-19 23:03:42

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 244

Re: Digit system of base ∞ ( infinity )

Thanks  ganesh  !

Offline

#4 2017-08-28 16:49:30

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 244

Re: Digit system of base ∞ ( infinity )

Exercise  involving  digits  taken  from  base  ∞

(1)  Find  the  value  of  「98 」「76 」「54 」( base「100 」)
         in  base  「10 」.
Solution  :   「98 」「76 」「54 」( base「100 」)
                 =  98 * 100 ^ 2  +  76 * 100  +  54
                 =  98 * 10000  +  7600 +  54
                 = 987654    ( base 「10」)

(2)  Find  the  value  of  「15」「15」「15」「14」( base 「16」)
          in  base 「10 」.
Solution  :  「15」「15」「15」「14」(  base 「16」)
                 =  10000 - 2  (  base 「16」)
                 =  16 ^ 4 - 2  (  base 「10」)
                =   65536 - 2
                =  65534    (  base 「10」)

(3)  Find  x  if   47 (  base 「x」)  +   39 (  base 「x」) =   80 (  base 「x」) 
Solution  :   Expressed  in  base  10 , the  equation  becomes 
                 4x + 7  +  3x + 9 =  8x
             ⇒ 7x  + 16  = 8x
          ⇒  x = 16 

(4)  Find  x  if  123 (  base 「x」)  =  「51」
Solution  :   Expressed  in  base  10 ,
                 x ^ 2  +  2x + 3 = 51 
          ⇒  x ^ 2  +  2x - 48 =  0
          ⇒  ( x - 6 ) ( x + 8 ) = 0
          ⇒  x =  6   
             or  x = - 8     ( rejected )

Offline

#5 2017-09-03 22:01:27

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 244

Re: Digit system of base ∞ ( infinity )

Arithmetic  with  numbers  of  base  「16」

Find  the  values  of  :
(1) 「10」「11」 +  5「13」
(2) 「10」「11」 -   5「13」
(3) 「10」「11」 *  5「13」
(4)  「10」「11」 /   5「13」

Solutions :
(1)  「10」「11」 +  5「13」
    = 「15」「24」
    = 「16」8
    =  108

(2)  「10」「11」 -   5「13」
    =  5 「-2」
    =  4 「14」

(3)  「10」「11」 *  5「13」
     = 「50」「55」0   +  「130」「143」
     = 「50」「185」「143」
     = 「50」「193」「15」
     = 「62」1 「15」
     =  3「14」1 「15」

  (4)  「10」「11」 /   5「13」
      =  1 +   4 「14」/  5「13」

Offline

#6 2017-09-14 22:47:46

mr.wong
Member
Registered: 2015-12-01
Posts: 244

Re: Digit system of base ∞ ( infinity )

Fractions  converted  to  " decimal  no. "  in  base  「16」

1/2 =  0.8
1/3 =  0.555 ....
1/4 =  0.4
1/5 =  0.333 ....
1/6 =  0.2「10」「10」「10」....
1/7 =  0.249249....
1/8 =  0.2
1/9 =  0.1「12」7 1「12」7 ....
1/「10 」 =  0.1999 ....
1/ 「11」=  0.1745「13」1745「13」....
1/ 「12」=  0.1555 .....
1/ 「13」=  0.13「11」13「11」....
1/ 「14」=  0.1249249....
1/ 「15」=  0.111 ...
1/ 10  =  0.1

Offline

Board footer

Powered by FluxBB