Math Is Fun Forum

mathxyz

Member

From: Brooklyn, NY

Registered: 2024-02-24

Posts: 1,053

Long Division

This one on page 49 is not a difference of cubes. It's more challenging.
Can you do this one for me?

Problem 104; page 49.

Divide x^5 - a^5 by x - a.

Bob

Administrator

Registered: 2010-06-20

Posts: 10,627

Re: Long Division

Ok. First notice that putting x=a causes x^5 - a^5 to become 0, so (x-a) is a factor => no remainder.
       
                                       x^4       + a   x^3       +    a^2 x^2   + a^3 x      + a^4
                  _____________________________________________________
x - a           |   x^5     + 0 x^4       + 0   x^3       +     0    x^2       + 0   x     - a^5
                      x^5      - a x^4
                     ______________
                                    a x^4        + 0   x^3
                                    a x^4        -a^2 x^3
                                   ___________________
                                                   + a^2 x^3       +    0    x^2
                                                   + a^2 x^3       -    a^3 x^2
                                                   _________________________
                                                                          +    a^3 x^2      + 0    x
                                                                          +    a^3 x^2      - a^4 x
                                                                          _____________________
                                                                                                   + a^4 x    - a^5

                                                                                                   + a^4 x    -  a^5
                                                                                                   _______________

                                                              remainder              =         0              0

so x^5 - a^5 = (  x^4       + a   x^3       +    a^2 x^2   + a^3 x      + a^4)(x-a)

Bob

---

Children are not defined by school ...........The Fonz
You cannot teach a man anything;  you can only help him find it within himself..........Galileo Galilei
Sometimes I deliberately make mistakes, just to test you!  …………….Bob

mathxyz

Member

From: Brooklyn, NY

Registered: 2024-02-24

Posts: 1,053

Re: Long Division

Ok. First notice that putting x=a causes x^5 - a^5 to become 0, so (x-a) is a factor => no remainder.
       
                                       x^4       + a   x^3       +    a^2 x^2   + a^3 x      + a^4
                  _____________________________________________________
x - a           |   x^5     + 0 x^4       + 0   x^3       +     0    x^2       + 0   x     - a^5
                      x^5      - a x^4
                     ______________
                                    a x^4        + 0   x^3
                                    a x^4        -a^2 x^3
                                   ___________________
                                                   + a^2 x^3       +    0    x^2
                                                   + a^2 x^3       -    a^3 x^2
                                                   _________________________
                                                                          +    a^3 x^2      + 0    x
                                                                          +    a^3 x^2      - a^4 x
                                                                          _____________________
                                                                                                   + a^4 x    - a^5

                                                                                                   + a^4 x    -  a^5
                                                                                                   _______________

                                                              remainder              =         0              0

so x^5 - a^5 = (  x^4       + a   x^3       +    a^2 x^2   + a^3 x      + a^4)(x-a)

Bob

I must say that you really know how to do long division by trying on different spaces in the typing area.